解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞) 其导数为： ，因此可以判出：
当x＞0时， ＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x＜0时， ＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)； 注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。 函数的极值及其求法
在学习函数的极值之前，我们先来看一例子：
设有函数 ，容易知道点x=1及x=2是此函数单调区间的分界点，又可知在点x=1左侧附近，函数值是单调增加的，在点x=1右侧附近，函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外)， ＜ 均成立，点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢？
事实上，这就是我们将要学习的内容——函数的极值， 函数极值的定义
设函数 在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， ＜ 均成立， 则说 是函数 的一个极大值；
若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)， ＞ 均成立， 则说 是函数 的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 我们知道了函数极值的定义了，怎样求函数的极值呢？ 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点 凡是使 的x点，称为函数 的驻点。 判断极值点存在的方法有两种：如下 方法一：
设函数 在x0点的邻域可导，且 .
情况一：若当x取x0左侧邻近值时， ＞0，当x取x0右侧邻近值时， ＜0， 则函数 在x0点取极大值。
情况一：若当x取x0左侧邻近值时， ＜0，当x取x0右侧邻近值时， ＞0， 则函数 在x0点取极小值。
注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求 ；
b)：求 的全部的解——驻点；
c)：判断 在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。 例题：求 极值点 解答：先求导数
再求出驻点：当 时，x=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如下图所示 方法二：
设函数 在x0点具有二阶导数，且 时 .
则：a)：当 ＜0，函数 在x0点取极大值； b)：当 ＞0，函数 在x0点取极小值；
c)：当 =0，其情形不一定，可由方法一来判定. 例题：我们仍以例1为例，以比较这两种方法的区别。
解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。
，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定； ＜0，故此点为极大值点；
＞0，故此点为极小值点。函数的最大值、最小值及其应用
在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使\产品最多\、\用料最省\、\成本最低\等。
这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求 在[a,b]上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点 的值，从中取得最大值、最小值即为所求。
例题：求函数 ，在区间[-3，3/2]的最大值、最小值。 解答： 在此区间处处可导，
先来求函数的极值 ，故x=±1，
再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。 因为 ， ， ，
故函数的最大值为 ，函数的最小值为 。 例题：圆柱形罐头，高度H与半径R应怎样配，使同样容积下材料最省？ 解答：由题意可知： 为一常数， 面积
故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。
故： 时，用料最省。曲线的凹向与拐点
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。 定义：
对区间I的曲线 作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。 曲线凹向的判定定理
定理一：设函数 在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是： 导数 在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
定理二：设函数 在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末： 若在(a,b)内， ＞0，则 在[a,b]对应的曲线是下凹的；
若在(a,b)内， ＜0，则 在[a,b]对应的曲线是上凹的； 例题：判断函数 的凹向
解答：我们根据定理二来判定。
因为 ，所以在函数 的定义域(0,+∞)内， ＜0， 故函数所对应的曲线时下凹的。 拐点的定义
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。 拐定的判定方法
如果 在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定 的拐点。
(1)：求 ；
(2)：令 =0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
(3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查 在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。 例题：求曲线 的拐点。 解答：由 ，
令 =0，得x=0，2/3
判断 在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。四、不定积分
不定积分的概念
原函数的概念
已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有
dF'(x)=f(x)dx， 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 例：sinx是cosx的原函数。 关于原函数的问题
函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？
我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数， 即：F\，
则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数， 故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个. 不定积分的概念
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作 。 由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分 就是函数族
F(x)+C. 即: =F(x)+C 例题：求： .
解答：由于 ，故 = 不定积分的性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 即：
2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来， 即： 求不定积分的方法 换元法
换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数. 即有换元公式: 例题：求
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。
设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)，
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数） 即有换元公式: 例题：求
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。 分部积分法 这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为： (uv)'=u'v+uv'，移项，得 uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得： ， 这就是分部积分公式 例题：求 解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。 设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得： 关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点： (1)v要容易求得； (2) 容易积出。几种特殊类型函数的积分举例 有理函数的积分举例 有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式， 反之为真分式。 在求有理函数的不定积分时，若有理函数为假分式应先利用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求之。 例题：求 解答： 关于有理函数积分的问题 有理函数积分的具体方法请大家参照有关书籍，请谅。 三角函数的有理式的积分举例 三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。 例题：求 解答： 关于三角函数的有理式的积分的问题 任何三角函数都可用正弦与余弦函数表出，故变量代换u=tan(x/2)对三角函数的有理式的积分应用，在此我 们不再举例。 简单无理函数的积分举例 例题：求 解答：设 ，于是x=u2+1，dx=2udu，从而所求积分为： 五、定积分及其应用 定积分的概念 我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。如下图所示： 现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？ 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。 定积分的概念 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0 [x0，x1]，...[xn-1,xn], 在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi， 并作出和 ， 如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作 。 即： 关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了，那么函数f(x)满足什么条件时才可积？ 定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。 （2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 定积分的性质 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差）. 即：