性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即：
性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则 ≤ （a 注：此性质就是定积分中值定理。 微积分积分公式 积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分 ,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关） 定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数 在[a,b]上具有导数， 并且它的导数是 （a≤x≤b) (2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。 牛顿--莱布尼兹公式 定理(3)：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 注意：此公式被称为牛顿-莱布尼兹公式，它进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。 它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数再去见[a,b]上的增量。因此它就 给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 例题：求 解答：我们由牛顿-莱布尼兹公式得： 注意：通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式。 定积分的换元法与分部积分法 定积分的换元法 我们知道求定积分可以转化为求原函数的增量，在前面我们又知道用换元法可以求出一些函数的原函数。因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分。 定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数g(t)在区间[m,n]上是单值的且有连续导数；当t在区间[m,n]上变化时，x=g(t)的值在[a,b]上变化，且g(m)=a,g(n)=b；则有定积分的换元公式: 例题:计算 解答:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.于是： 注意：在使用定积分的换元法时，当积分变量变换时，积分的上下限也要作相应的变换。 定积分的分部积分法 计算不定积分有分部积分法，相应地，计算定积分也有分部积分法。 设u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u'(x)、v'(x)，则有(uv)'=u'v+uv',分别求此等式两端在[a,b]上的定积分，并移向得： 上式即为定积分的分部积分公式。 例题：计算 解答：设 ，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得： 再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.于是： 故： 广义积分 在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限 存在， 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分， 记作： ， 即： = . 此时也就是说广义积分 收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分 发散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。 类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分， 记作： ， 即： = . 此时也就是说广义积分 收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分 发散。 如果广义积分 和 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分， 记作： ， 即： = 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。 例题：计算广义积分 解答： 二：积分区间有无穷间断点的广义积分 设函数f(x)在(a,b]上连续，而 .取ε>0，如果极限 存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分， 仍然记作： . 即： = ， 这时也说广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分 发散。 类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而 .取ε>0，如果极限 存在， 则定义 = ； 否则就说广义积分 发散。 又，设f(x)在[a,b]上除点c(a 解答：因为 ，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得： 六、空间解析几何 空间直角坐标系 空间点的直角坐标系 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示） 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点， 则x=y=z=0，等。 空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 由于 ，所以△ABC是一等腰三角形方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点 ，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有向线段.记作 .通过原 点作一与其平行且同向的有向线段 .将 与Ox,Oy,Oz三个坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段 的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 关于方向角的问题 若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。 方向角的余弦 称为有向线段 或相应的有向线段的方向余弦。 设有空间两点 ，则其方向余弦可表示为： 从上面的公式我们可以得到方向余弦之间的一个基本关系式： 注意：从原点出发的任一单位的有向线段的方向余弦就是其端点坐标。 方向数 方向余弦可以用来确定空间有向直线的方向，但是，如果只需要确定一条空间直线的方位(一条直线的两个方向均确定着同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道与方向余弦成比例的三个数就可以了。这三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线的方向数，记作：{A，B，C}.即： 据此我们可得到方向余弦与方向数的转换公式： ， ， 其中：根式取正负号分别得到两组方向余弦，它们代表两个相反的方向。 关于方向数的问题 空间任意两点坐标之差就是联结此两点直线的一组方向数。 两直线的夹角 设L1与L2是空间的任意两条直线，它们可能相交，也可能不相交.通过原点O作平行与两条直线的线段 .则线段 的夹角称为此两直线L1与L2的夹角. 若知道L1与L2的方向余弦则有公式为： 其中：θ为两直线的夹角。 若知道L1与L2的方向数则有公式为： 两直线平行、垂直的条件 两直线平行的充分必要条件为： 两直线垂直的充分必要条件为： 平面与空间直线 平面及其方程 我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。 设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为： 注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。 例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程. 解答：应用上面的公式得所求的平面方程为： 即 我们把形式为： Ax+By+Cz+D=0. 称为平面方程的一般式。其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。 几种特殊位置平面的方程 1、通过原点 其平面方程的一般形式为： Ax+By+Cz=0. 2、平行于坐标轴 平行于x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz+D=0. 平行于y轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz+D=0. 平行于z轴的平面方程的一般形式为： Ax+By+D=0. 3、通过坐标轴 通过x轴的平面方程的一般形式为： By+Cz=0. 通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为： Ax+Cz=0，Ax+By=0. 4、垂直于坐标轴 垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为： Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0. 直线及其方程 任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。 设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为： 上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。 直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下： 这就是直线方程的一般式。 平面、直线间的平行垂直关系 对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。 总的来说，平面、直线间的垂直与平行关系，最终都转化为直线与直线的平行与垂直关系。在此我们就不列举例题了。 曲面与空间曲线 曲面的方程