第七章 多元函数积分学
§7.1 二重积分
(甲) 内容要点
一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题
模型I：设有界闭区域
D??(x,y)a?x?b,?1(x)?y??2(x)? 其中?1(x),?2(x)在[a,b]上连续，f(x,y)在
D上连续，则
b?2(x)1(x)??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dx??f(x,y)dyDDa
模型II：设有界闭区域
D??(x,y)c?y?d,?1(y)?x??2(y)?
其中?1(y),?2(y)在[c,d]上连续，f(x,y) 在D上连续
d?2(y) 则
??f(x,y)d????f(x,y)dxdy??dy??DDcf(x,y)dx
1(y) 关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，
对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模型II中关于D的要求，那么就需要把D分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定?对?进行积分，然后再对
?进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域
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D??(?,?)?????,?1(?)????2(?)? 其中?1(?),?2(?)在[?,?]上连续，f(x,y)?f(?cos?,?sin?)在D上连续。
??2(?) 则
??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d????d????DD1(f(?cos?,?sin?)?d?
)模型II 设有界闭区域
D??(?,?)?????,0????(?)?其中
?(?)在[?,?]上连续，
f(x,y)?f(?cos?,?sin?)在D上连续。
??(?) 则
??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d????d??f(?cos?,?sin?)?d?
DD0?ye??dxdy，其中D由y=x,y=1和y轴所围区域 D2（乙）典型例题
一、二重积分的计算 例1 计算
解： 如果
??eD?y211dxdy??dx?e?ydy
0x2
那么先对e?y2求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累
次积分。
??eD?y21ydxdy??dy?e?ydx
002
这时先对x积分，e1?y2当作常数处理就可以了。
原式=ye?ydy???021?y2e2??10?11(1?) 2e例2 计算
|x|?10?y?2??|y?x2|dxdy
2?x?22解：原式=?dx??x?ydy??y?xdy? ???1x2?0?12
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2???(x2?y)3?1113y?x22y?013222dx??(y?x)3?13221y?2dxy?x2
?
225?3|x|dx?(2?x)dx????3?13?13222(x?y?y)d? ??D例3 求 I?D:
解一：
x2?y2?4(x?1)?y?1
22
????????DD大圆D小圆D大圆???x2?y2?y?d??????D2?2x2?yd??0(对称性)大圆2?2d?r??dr?0016?33?2?2cos?
D小圆?????D小圆x?yd??0??d??222?0r2dr?32 9
????xD2?y2?yd???16(3??2) 9解二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知
??yd??0
D??Dx2?y2d??2??x2?y2d?
D上??2222原式?2???x?yd????x?yd????D上2?D上1????2?22???2??d??r2d???d??r2dr??00?2cos????2?416?16?4?2???(??)??(3??2)39?9?3例4 计算二重积分I=
??rD2sin?1?r2cos2?drd?
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其中 D???r,??0?r?sec?,0???????? 4?解：原式=D???rsin?D1?r2?cos2??sin2??rdrd????y1?x2?y2dxdy
D其中D?于是
??x,y?0?x?1,0?y?x?
x3x1111?222222?y1?x?ydy??dx?1?x?yd?1?x?y????1??1?x??dx02030??22I??dx?0101?13???2cos4?d????30316
二、交换积分的顺序
2a2ax例1 交换dx0?2ax?x2?f(x,y)dy的积分顺序
解 原式=
??f(x,y)dxdy
D其中D由y?2ax?x2和y?2ax以及
x?2a所围的区域
D?D1UD2UD3
y2y?2ax解出x?2a由
y?2ax?x2解出x?a?a2?y2
因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得
aa?a2?y2a2a2a2a原式?dy0?y22a?f(x,y)dx??dy0a?a2?y2?f(x,y)dx??dy?af(x,y)dx
y22a
例2 设f?(y)连续，证明
axI??dx?00f?(y)dy??[f(a)?f(0)]
(a?x)(x?y) 证明：交换积分次序
aaI??dy?f?(y)0ydx(a?y2a?y2)?(x?)22117
令 x?
a?ya?ya?y?sint,则dx?costd,t 222?a?yaacost22I??f?(y)dy?dt???f?(y)dy??[f(a)?f(0)] a?y?00cost?22
三、二重积分在几何上的应用 1、求空间物体的体积
例1 求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积
解 设两正交圆柱面的方程为x2?y2?R2和x2?z2?R2，它们所围立体在第一卦限
中的那部分体积
V1???R2?x2dxdy
D其中D为 0?x?R,RR2?x20?y?R2?x2
R
因此 V1?dx0??0R?xdy??(R2?x2)dx?02223R 3而整个立体体积由对称性可知
V?8V1?22163R 32222例2 求球面x?y?z?4R和圆柱面x?y?2Rx(R?0)所围（包含原点那一部分）的体积 解 V?4
??D24R2?x2?ydxdy
其中D为xy平面上y?2Rx?x2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算
V?4??4R2?r2rdrd?D?22Rcos?
?4?d?0?04R2?r2rdr
?32R32323?23?(1?sin?)d??R(?)?30323
2、求曲面的面积（数学一）
§7.2 三重积分（数学一）
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