解：L?L1?L2，其中曲线L1的方程y=1+x,起点（-1，0），终点（0，1） 曲线L2的方程y=1-x, 起点（0，1），终点（1，0） 原式 ==
22?0x?1?x?dx?x2dx???1x?1?x?dx?x2d??x?? xydx?xdy?xydx?xdy??L1?L2???1????0??????2x?102?x?dx???x?2x2?dx
0011?23x2??x223?=?x????x? ?2??1?3?23?0=????31??12????????0 ?22??23?例2 计算曲线积分 I????z?y?dx??x?z?dy??x?y?dz，其中
LL是曲线
?x2?y2?1，从Z轴正向往负向看L的方向是顺时针方向。 ?x?y?z?2?解：曲线L是圆柱面x?y?1和平面x?y?z?2的交线，是一个椭圆周，它的参数方
22z?2?x?y?2?cos??sin?，程（不是唯一的选法）最简单可取 x?cos?，y?sin?，
根据题意规定L的定向，则?从2?变到0，于是
I??02???2?cos????sin?????2?2cos??sin??cos???cos??sin???sin??cos???d?02 ????co?s??2co2s??1?d? ???2?sin ??2?
二、用格林公式等性质来计算曲线积分 例1、求I??xx???esiny?bx?ydx?e????cosy?ax??dy，其中a，b为正的常数，L为L?从点?2a,0?沿曲线y?2ax?x2到点（0，0）的弧
解一：用格林公式，但L不是封闭曲线，故补上一段L1，它为从（0，0）沿y＝0 到?2a,0?的有向直线。这样L?L1构成封闭曲线，为逆时针方向 于是 I??L?L1x－?Pdx?Qdy＝I1?I2，令esiny?b?x?y??P Pdx?QdyL1???excosy?ax?Q，根据格林公式
? 124
I1???Q?P?＝?Pdx?Qdy??x??y??dxdy ???L?L1?D? ??2??b?adxd?ya?b?a? ??D2这里D为由L和L1围成的上半圆区域。 另外，在L1上，y＝0，dy?0，故
I2??Pdx?Qdy??L12a0??bx?dx??2a2b
于是 I?I1?I2???????2?a2b?a3
2?2?解二：我们把所给曲线积分拆成两项
I??exsinydx?excosydy??b?x?y?dx?axdy?I3?I4
LL在I3中，由于
?x?xecosy?esiny，故积分与路径无关 ?x?y????又看出 desiny?esinydx?ecosydy 因此 I3?ex?x??x??x??0,0?siny?0
?2a,0?而在I4中，取L的参数方程 x?a?acost,y?asint,t从0到? 于是 I4? ????absint?absintcost?absin?22202t?a3cost?a3cos2tdt
?????a3???2?a2b 2?2?因此，I?I3?I4???????2?a2b?a3
2?2?例2、计算曲线积分逆时针方向. 解 令P?xdy?ydx，其中L是以（1，0）为圆心，R（>1）为半径的圆周,取22?4x?yL?yx ,Q?4x2?y24x2?y2 125
当?x,y???0,0?时,
?Q?p成立 ??x?y因此,不能在L 的内部区域用格林公式
设法用曲线C在L 的内部又包含原点在C的内部,这样在C与L围成的二连通区域内可以用格林公式
???x?cos?今取曲线C:? ???R?1? 2??y??sin??从2?到0为顺时针方向
令C与L围成区域为D(二连通区域) 根据格林公式
??Q?p?0??????dxdy??pdx?Qdy??pdx?Qdy
LC?x?y?D? (逆时针) (顺时针) 于是 I??Lpdx?Qdy???pdx?Qdy???pdx?Qdy
CC (顺时针) (逆时针)
用C的参数公式代入后，得
I??2?012?2d??? 2?[注：这里取C为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取C为x??cos?,y??sin?的圆
周，那么最后的积分就比较复杂I??2?0?2d?] 222??4cos??sin??例3、设函数??y?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分
????y?dx?2xydy2x2?y4L的值恒为同一常数。
?2xydy?I?证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有?C??y?dx?0； 242x?y?II?求函数??y?的表达式。
?I?证 如图，设C是半平面x>0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M,N，
??作围绕原点的闭曲线MQNRM,同时得到另一围绕原点的闭曲线MQNPM.
根据题设可知
126
?MQNRM????y?dx?2xydy2x?y24??MQNPM????y?dx?2xydy2x?y24?0
根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得
??＝
??y?dx?2xydy2x2?y4c
?NRM????y?dx?2xydy2x2?y4??MPN???y?dx?2xydy2x2?y4
＝
??y?dx?2xydy2x?y24??NRM?NPM???y?dx?2xydy2x?y24
＝＝0
?MQNRM???y?dx?2xydy2x?y24??MQNPM???y?dx?2xydy2x?y24
?II?解：设P＝
??y?2x2?y,Q?42xy，P,Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数。
2x2?y4在该区域内与路径无关，故当x>0时，总有
由?I?知，曲线积分
?????dx?2xydy2x2?y4L?Q?P。 ??x?y24?Q2y?2x?y??4x?2xy?4x2y?2y5 ， ① ??222424?x?2x?y??2x?y?2432x2???y?????y?y4?4??y?y3?P???y??2x?y??4??y?y ， ② ??242242?y?2x?y??2x?y?比较①、②两式的右端，得
?????y???2y,?435?????y?y?4??y?y?2y由③得
(3) (4)535 ，将??y?代入④得 2y?4cy?2y, ??y???y2?c所以c?0,从而??y???y
2
三、应用
?????x2y2z2例 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下一质点由原点沿直线到椭球面2?2?2?1abc?上第一卦限的点 M??,?,??问?,?,?取何值时，F作功W最大，并求Wmax。
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??解：设线段OM的参数方程 x??t,y??t,z??t,?0?t?1?，则F在OM上作功
W?? ?OM????F?dxi?dyj?dzk????OMyzdx?zxdy?xydz
?103???t2dt????
??2?2?2?用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数G??,?,?,?????????1?2?2?2?
c??ab2???0 （1） a22??????2??0 （2） G?b2??????2??0 （3） G?c?????G???1?G??2?2a2?b2??2c2?0 （4）
???1?????2?????3?得 3????2???1??0 （5）
2?a232由?1?得 ???2?代入（5）得 ??，则 ??a，
a33同理得 ??33b,??c， 333Wmax?3?3??abc?abc ??3?9???333?3a,b,c故原点到?作功最大，最大功为abc ??3?339?? 128