选修4--5 数学归纳法
一、选择题
111
1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋?＋n
2－1验证不等式( )
111
A．1＋2<2 B．1＋2＋3＜2 11111
C．1＋2＋3＜3 D．1＋2＋3＋4＜3 [答案] B
[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项11
为2＝3，故选B. 2－1
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋?＋a验证n＝1时，左边所得的项为( )
A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案] B
[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
111
3．设f(n)＝＋＋?＋2n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
n＋1n＋211A. B. 2n＋12n＋2
1111C.＋ D.－ 2n＋12n＋22n＋12n＋2[答案] D
[解析] f(n＋1)－f(n)
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n＋1
1－an＋2
＝(n∈N*，a≠1)，在
1－a
?11111?＝?(n＋1)＋1＋(n＋1)＋2＋?＋2n＋2n＋1＋2(n＋1)? ???111?111－?n＋1＋n＋2＋?＋2n?＝＋－ ??2n＋12(n＋1)n＋1
11＝－. 2n＋12n＋2
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C
[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )
A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案] C
[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 [答案] C
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[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )
A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立 [答案] D
[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2， 当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2) 由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0
?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
A．30 B．26 C．36 D．6 [答案] C
[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
2222A. B. C.n D. (n＋1)2n(n＋1)2－12n－1[答案] B
[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1 ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
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n
∴an＋1＝a (n≥2)．
n＋2n
a11
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝3＝3 2131a3＝4a2＝6，a4＝5a3＝10. 111
由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10 2
猜想an＝，故选B.
n(n＋1)
10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( ) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [答案] D [解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D. 二、填空题 11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________． [答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形． 第 4 页 共 8 页 11111 12．已知数列，，，?，，通过计算得S1＝2，S2 1×22×33×4n(n＋1)23 ＝3，S3＝4，由此可猜测Sn＝________. [答案] n n＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案． 1111 解法2：Sn＝＋＋＋?＋ 1×22×33×4n(n＋1) ?11?1??11??11?? ＝?1－2?＋?2－3?＋?3－4?＋?＋?n－n＋1? ???????? 1n＝1－＝. n＋1n＋1 13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________. [答案] 5 [解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5. 14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2. (1)当 n0＝________时，左边＝____________，右边＝ ______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________． (2)假设n＝k时命题成立，即________________________________成立． (3)当n＝k＋1时，命题的形式是_______________________________；此时，左边增加的项为______________________． [答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k； (k－1)[3(k－1)＋1] 第 5 页 共 8 页