(2)1×4＋2×7＋3×10＋?＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2 (3)1×4＋2×7＋?＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1] [解析] 由数学归纳法的法则易知． 三、解答题
15．求证：12－22＋32－42＋?＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． [证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋?＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋?＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立． 1111n－2
16．求证：2＋3＋4＋?＋n－1>2(n≥2)．
21
[证明] ①当n＝2时，左＝2>0＝右， ∴不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立． 111k－2
即2＋3＋?＋k－1>2成立．
2111
那么n＝k＋1时，2＋3＋?＋k－1 211＋k－1＋?＋k－1 2＋12＋2k－1
k－211k－2111>2＋k－1＋?＋2k>2＋2k＋2k＋?＋2k
2＋1
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k－22k－1(k＋1)－2＝2＋2k＝， 2∴当n＝k＋1时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
n2＋n＋2求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域． 2
[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． k2＋k＋2(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命2题成立．
k2＋k＋2当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成2块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)＋2从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区22域．
所以n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．
18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
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当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2(n∈N*)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边， 所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．
(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立， 即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时， 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．
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