附录：代数拓扑学中常见概念介绍
（一）关于流形概念
球面、环面以及我们所熟悉的其它曲面，它们往往比平面复杂得多。
但是，从局部上分析，有些曲面上的每一点近旁都有一块区域同胚与平面。具有这种局部欧氏特性的拓扑空间成为流形。
定义1 一个Hausdorfrf空间X称为n维（拓扑）流形，如果X的任一点都有一个同胚于En的开邻域。
★二维流形称为曲面。如E2，S（球面），T2（环面），平面和M?bius带都是曲面。 ★没有边界点（全是内点）的紧致连通曲面称为闭曲面。 研究曲面分类问题是代数拓扑的一项重要内容。
2（二）关于同伦与基本群概念
同伦与基本群概念也是研究曲面分类中提出的概念。
在拓扑学中，利用道路概念替代曲线，道路本身是一种映射。同伦是一种描述连续映射变形（道路收缩变形）的概念。
定义2 设f,f?是[0,1]?X的两个道路，且f和f?都以x0为起点，以x1为终点。如果存在连续映射F:[0,1]?[0,1]?X使得对于每一个s?[0,1]和t?[0,1]，
F(s,0)?f(s),F(0,t)?x0,
F(s,1)?f?(s)F(1,t)?x1
则称f与f?是道路同伦的，F称为f与f?之间的一个道路同伦，记f?f?。
解释：所谓f与f?同伦，意味着f可以“连续的”变为f?。
★
易
0 s 1 F
x0 f X
知，同伦关
1 t f’ x1 系?是等价关系。X的所有道路在?下分成的等价类称为X的道路类。
从分析知，所谓f与f?同伦，即X上存在道路f到f?的连续变形。
从道路变形角度看，球面上闭曲线可以连续的变形收缩成一点，而环面上则不可以。见下图。
这种差别可以反映闭曲面的不同几何特征。 ●关于道路的乘法和逆
设a是拓扑空间点x到y的道路连接，b是y到z的道路连接，定义道路a，b的乘法ab是从（ab是道路a，b的乘法）。 x到z的道路连接。
?是从y连接x的道路，a?称为a的逆。 当a从x连接y，则a于是，下属结论是正确的。
f ?。 ??b（1）若a?b，则a（2）若a?b，c?d，且ac有意义，则ac?bd。
●在拓扑空间X上，利用上述定义的乘法和逆，以起点和终点均为x0?X的闭合道路为对象，在道路同伦类的集合上，乘法运算构成一个群，称为X的基本群。
●代数拓扑学的一项重要内容即是研究基本群的性质（不同流形S，T2等上的基本群性质）。
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