全国2010年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1
表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
xyz2x2y2z1.设行列式403?1,则行列式401?（ 1113）
111A.
23 B.1
C.2
D.83 2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（ ） A. A-1B-1C-1 B. C-1B-1A-1 C. C-1A-1B-1
D. A-1C-1B-1
3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ） A.-32 B.-4 C.4
D.32
4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关
D. α1，α2，α3一定线性无关
5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3
D.4
6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ A.1 B.2 C.3
D.4
7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m≥n B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解 C.r（A）=m
D.Ax=0存在基础解系
?4?52?8.设矩阵A=??5?73??，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）
??6?94??A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）T
D.（1，0，-3）T
）
?1?11??的三个特征值分别为λ，λ，λ，则λ+λ+λ13?19.设矩阵A=?12312???1??11?3 = （ ）
A.4 C.6
B.5 D.7
22210.三元二次型f （x1，x2，x3）=x1的矩阵为（ ） ?4x1x2?6x1x3?4x2?12x2x3?9x3?123??246A.???
??369???126??246C.???
??069???143??046B.???
??369???123??240D.???
??3129??
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 12311.行列式459=_________.
6713?5?212.设A=??0??0210000210?0??，则A-1=_________. 1??1?13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________. 14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________. 16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________. ?a11??x1??1???x???1?1a117.设线性方程组????2???有无穷多个解，则a=_________.
??11a????x3?????2??18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.
19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.
2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩为_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
2321．计算4阶行列式D=
453456456756. 78?2?31??，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1. 4?5222.设A=?????5?73??23.设向量α=（3，2），求（αTα）101.
24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. ?x1?x2?2x4?0?25.求齐次线性方程组?4x1?x2?x3?x4?0的基础解系及其通解.
?3x?x?x?0123??32?2??-1
0?1026.设矩阵A=?，求可逆方阵P，使PAP为对角矩阵. ????42?3??
四、证明题（本大题6分）
27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.
全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分） 1.已知2阶行列式
a1b1a2b2=m ,
b1c1b2c2=n ,则
b1b2a1?c1a2?c2=（ ）
A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）
2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A.ACB
B.CAB C.CBA
D.BCA
3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ ） A.-8
B.-2 C.2
D.8
?100??100??a11a12a13??a113a12a13?????????4.已知A=?a21a22a23?，B=?a213a22a23?，P=?030?，Q=?310?，则B=（ ）
?????aaa??a3aa??????313233??313233??001??001?A.PA B.AP C.QA D.AQ
5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误的是（ ） ．．A.只含有一个零向量的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出
B.α2必能由α1,α3，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出
8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ） A.小于m
B.等于m C.小于n D.等于n
9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT C.A-1
B.A2 D.A
*
22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正惯性指数为（ ）
A.0 C.2
B.1 D.3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.行列式
2007200820092010的值为_________________________.
?1?13????,B=?20?,则ATB=____________________________. 12.设矩阵A=??201??01?????
13.设4维向量??（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2??γ=3β，则γ=__________.
114.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?,则|A-1|=___________________________.
n15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.
?x?x?x3?016.齐次线性方程组?12的基础解系所含解向量的个数为________________.
2x?x?3x?03?12?1?17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵?A2?必有一个特征值为_____________.
?3????1?2?2???18.设矩阵A=??2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.
??????200????1??a??119.已知A=??2??0???0?2??b0?是正交矩阵，则a+b=_______________________________。
??01???120.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
abb2b?b3cc2的值。 c?c321.计算行列式D=a2a?a322.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。
23.设向量组?1?(2,1,3,1)T,?2?(1,2,0,1)T,?3?(-1,1,-3,0)T,?4?(1,1,1,1)T,求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。 ??1??24.已知矩阵A=?0??0??210???3???14???????（2）解矩阵方程AX=B。 2?，B=?25?.（1）求A-1；
????1?3?1????????x1?2x2?3x3?4??25.问a为何值时，线性方程组?2x2?ax3?2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，
??2x?2x?3x?623?1