例5. 求y?sinx?2(0?x??)的最小值。 sinx2(0?u?1)。 u解：设u?sinx，则y?u?从图2中可以看到y?u?来证明这一结论）。
2在区间(0，1]上是减函数（也可以利用函数的单调性定义u
?当u?1时，ymin?1?2?3 1［点评］若由sinx?22?2sinx??22，可得最小值22是错误的。 sinxsinx这是因为当等号成立时，sinx?即sinx?2， sinx1(0?x??)就可以用不sinx2?1是不可能的。若把此题改为y?sinx?等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。
五、利用sin?与cos?之间的关系
例6. 求函数y?sinx?cosx?sinxcosx的最大值和最小值。
解：设t?sinx?cosx?2sin(x?)，
4?1?t2则?2?t?2，且sinxcosx?。
21?t21??(t?1)2?1， 由于y?t?22故当t=1时，ymax?1；当t??2时，ymin??2?1。 2［点评］sin??cos?，sin??cos?，sin?cos?这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。sin?cos?是纽带，三者之间知其一，可求其二。令t?sinx?cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。
练一练：
1. 求函数y?2sinx(sinx?cosx)的最大值和最小值。
22. 求函数y?3?cosx?sinx的最大值和最小值。
3. 已知x???????，?，求函数y?(sinx?1)(cosx?1)的最大值和最小值。 ?62?2?1，ymin?1?2
2答案：1. ymax?（提示：由y?2sinx?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x?2. ymax?4，ymin?2sin(2x?)?1）
4?7 422（提示：由y?3?cosx?(1?cosx)?cosx?cosx?2?(cosx?)?1227） 43. ymax?3?222?3，ymin? 242（提示：令t?sinx?cosx，则sin2x?t?1。
3???2x???，??，??t2?1?1，
2?3?解得
3?1?t?2。 2t2?11?t?1?(t?1)2，容易求解） 于是y?sinxcosx?sinx?cosx?1?22三角问题的非三角化解题策略
对待三角问题，常规思路是运用三角知识及公式顺水推舟式的解析，自然而合理。其实，三角问题与相关知识的联系是十分密切的，在解题时，若能激活联想，发散思维，不少三角问题的解决途径是比较新奇和有趣的，正所谓三角问题的非三角化解题策略。这里剖析数例，以作欣赏。
一. 平几化策略
发挥平面图形的功能，以平面图形为载体，挖掘三角背景下的问题实质，使三角问题在平面图形的直观导引下得到解决。
例1. 已知△ABC的三个内角适合sin2A=sinB（sinB+sinC），求证：∠A=2∠B。
证明：如图1，联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D，使AD=AB=c， 则CD=b+c。
由于sin2A=sinB（sinB+sinC）， 所以a2=b（b+c）， 即BC2=AC2CD，
所以BC切过A、B、D的圆于点B， 所以∠ABC=∠ADB。 因为AB=AD， 所以∠ABD=∠ADB，
所以∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠ABC，得证。 二. 对称化策略
利用互余三角函数间的特殊关系，以问题结构特征为出发点，通过构造“相似”结构式子，建立对称关系，开避解题坦途。
例2求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。 解：设x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°，
y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°， 则x+y=2-cos40°；
x?y?cos20??cos100????1?cos40?。 21 2联立解得x?3，即为所求结果。 4三. 线圆化策略
直线与圆是数学中的平常而重要的几何图形。从抽象的数学式子里提炼出线圆关系，使问题及字母讨论在直观的几何显示下不解自知。
例3 设方程sin2x-sin2x=2cos2x+m有实数解，试求m的取值范围。 解：原方程变形为： 3cos2x-2sin2x+2m+1=0。
观察知：点（cos2x，sin2x）在直线3x-2y+2m+1=0上，而点又在单位圆x2+y2=1上，所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解，就是直线与圆有交点，所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得：
2m?13?(?2)22≤1。
整理得m2+m-3≤0， 解得
?1?13?1?13。 ≤m≤22四. 轨迹化策略
一图值千言。依题意构点挖掘点的轨迹，发挥“区域”优势，使隐藏的“关节”得以显
现，利用解析几何辅助问题获解。
?asin??bcos?≥0例4. 设a、b＞0，且变量θ满足不等式组?，求sinθ的最大值。
?acos??bsin?≥0?x2?y2?1，?解设x=cosθ，y=sinθ，则不等式组等价于?bx?ay≥0，
?ax?by≥0。?原不等式呈现出鲜明的几何意义：动点（x，y）的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标，即（sinθ）
max=yM=
aa?b22
五. 曲线化策略
有些三角问题，抓住结构特征，依托曲线方程，巧妙地建构圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下简捷求解。
cos4?sin4??例5 若α、β为锐角，且，求证α+β=。 ??1222sin?cos?解：构造A（cos2α，sin2α），B（sin2β，cos2β）两点，则A、B两点均在椭圆
y2x2??1上。根据圆锥曲线的切线知识知，经过点B的切线方程为x+y=1。显然sin2?cos2?点A的坐标适合切线方程，所以点A也是切点，从而知A、B两点为同一点。
即：cos2α=sin2β，sin2α=cos2β， 所以cosα=sinβ=cos（
?。 ?β）
2?。 2由题设条件α、β为锐角，不难得α+β=
一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法
问题：过点P?2,3?的直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A,B，求?ABO的
面积最小值，以及此时所对应的直线方程。
解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。
在研究函数的最值时，要注意函数的定义域对函数值的限制；在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。
解答这类问题的常用解题方法如下：
一、 利用三角函数的有界性求解
解法1：设过点P?2,3?的直线方程为：?xay23?1，则??1，于是可设bab