a?23，。 b?cos2?sin2?记?ABO的面积为S，则S?3121 ?ab=22sin?cos2??sin2??2因为0
2此时，a?2cos245??4，b?xy??1 463?6
sin245?所求的直线方程为：
评注：若正实数m,n满足m?n?1，我们可以设m?sin2?，n?cos2?，把二
元转化为关于?的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。
二、利用均值不等式求解
解法2：设过点P?2,3?的直线方程为：y?3?k?x?2?，
直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A?2???3?,0?,B?0,3?2k?. 由图知k?0 k?记?ABO的面积为S，则S?1?3?2????3?2k? 2?k?即S?1?9??12?4k?? 2?k?因为k?0，所以，?4k?0，?利用均值不等式得：
9?0。 k9?9?(?4k)?(?)?2??4k?????12。
k?k?所以S?1?9?1?12?4k????12?12??12 2?k?2当且仅当?4k??93，即k??时?ABO的面积有最小值，此时所对应的直线方程为： k2y?3??3?x?2??3x?2y?122
评注： 在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。变形原则是能
使产生的几个正数的积（或和）为定值。
解法3：设过点P?2,3?的直线方程为：?xay232b ?1，则??1，于是a?babb?3因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，则a?0,b?0。
12bb291记?ABO的面积为S，则S?ab=??b??b?3??6
2b?3b?3b?32因为：a?2b>0,b?0.所以b?3. b?399?2?b?3???6。
b?3b?3于是：b?3?所以：S=b?3?9?6?12。 b?3xay23则??1，于是ab?3a?2b ?1，
bab解法4：设过点P?2,3?的直线方程为：?因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，所以 a?0,b?0。利用均值不等式得：
ab?3a?2b?26ab，abab?26?0，而ab?0，所以ab?24。
记?ABO的面积为S，则S???1ab?12 2当且仅当3a?2b且ab?24时，a?4,b?6。面积有最小值S?12。 所求的直线方程为：
xy??1 46评注： 此题利用均值不等式，产生一个新的不等式，解这个不等式求出ab的最小
值，从而获解。
三、判别式法
解法5：设过点P?2,3?的直线方程为：y?3?k?x?2?，
直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A?2???3?,0?,B?0,3?2k?. 由图知k?0 k?记?ABO的面积为S，则S?21?3??2???3?2k? 2?k?化简得：4k??2s?12?k?9?0 （1）
将上式视为关于k的一元二次方程，因为k?R，所以，??0。 即?2s?12??4?4?9?0?S?12或S?0(舍去）。
2面积的最小值是：S?12，代入（1）得：k??此时所对应的直线方程为：y?3??3 23?x?2??3x?2y?12 2评注：上述方法就是构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为
非负数，求解。
解法6：设过点P?2,3?的直线方程为：?xay232b ?1，则??1，于是a?babb?3因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，则a?0,b?0。
12bb21记?ABO的面积为S，则S?ab=? ?b?2b?3b?32化简得：b?Sb?3S?0 （2）
将上式视为关于b的一元二次方程，因为b?R，所以，??0。 即(?S)?4?3S?0?S?12。因为?S?0?
22面积的最小值是：S?12，代入（2）得：b?6，则a?所求的直线方程为：
2b=4 b?3xy??1 46评注：此题还可以通过消去b，关于a的一元二次方程，利用上述方法求解。
一类应用题的统一解法
有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。
例1 某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面面积为A，它的左右两边都要留宽为a的空白，上下两边都要留有宽为b的空白，且印刷品左右长度不超过定值l。问：如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。
图1
解：设版面左、右长为x，上、下宽为y
则有A?xy（x>0，y>0） 设每张印刷品所用纸张面积为S
则S?(x?2a)(y?2b)?(A?4ab)?(2bx?2a?A)（0?x?l?2a） x（1）当2a?aA?l时， b2bx?2a?A?4abA， xA时取“=”号，解得x?xaA，y?bbA a当且仅当2bx?2a?即此时左右长为2a?aAbA，上下宽为2b? ba（2）当2a?aA?l时 baA b因为0?x?l?2a?所以(l?2a)?x?0
且bx?(l?2a)?b?aAaA??aA bb所以[b(l?2a)?2AaA]?(bx?) l?2axb(l?2a)x?aA?0
(l?2a)x?[(l?2a)?x]?当x?l?2a时取等号，即选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为2b?A用纸量最小。 l?2a综上所述，当2a?aAaAbA?l时，选择左右尺寸为2a?时，上、下尺寸为2b+; bba当2a?aAA?l时，选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为2b?所用纸量最小。 bl?2a例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s（千米），水速为常量p（千
米/时），船在静水中的最大速度为q（千米/时）（q>p）。已知船每小时燃料费用（以元为单位）与船在静水中速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为k。
（I）把全程燃料费用y（元）表示为静水中速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
解：（I）依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为
s，全程燃料费用为：v?py?kv2?s，故所求函数及其定义域为： v?psv2y?kv??ks?，v?(p，q]
v?pv?p2（II）由题意知k、s、v、p、q均为正数，且v>p，故有
p2y?ks[(v?p)??2p] v?p?ks(2p?2p)?4kspp2当且仅当v?p?，即v?2p时上式取等号
v?p若2p?q，则当v?2p时，全程燃料费用y最小。 若2p>q，当v?(p，q]时，有
v2q2ks??ks?v?pq?p
(q?v)(pq?pv?qv)?ks?(v?p)(q?p)因p?v?q?2p，故v?p?0，q?p?0，q?v?0 又pq?pv?qv?pv?pv?qv?(2p?q)v?0