专题24 图形的折叠与剪拼
阅读与思考
图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.
图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.
解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.
折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质： ① 关于一条直线对称的两个图形全等； ② 对称轴是对应点连线的中垂线.
例题与求解
【例1】 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D?处，则重叠部分△AFC的面积为＿＿＿＿＿.
（山东省竞赛试题）
yDCQRAFBxOP
例1题图 例2题图
0D'
解题思路：△AFC的高为BC，只需求出AF，注意到?D?＝90，AF＝FC
【例2】如图，直线y??2x?6 与x轴，y轴分别交于P，Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是（ ）
A.(2412,) B.（2,1） 55C.（6,3） D.（7，3.5）
（江苏省竞赛试题）
解题思路：过点R作x轴，y轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求得点R的坐标.
解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.
【例3】 如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在CD边上点E处，然后压平折痕FG，若FG＝13cm，求CE长.
（北京市竞赛试题）
解题思路：由折叠可得A与E关于FG对称，则FG⊥AE，可证明FG＝AE，这是解本例的关键.
0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q【例4】 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动
2秒时，动点P从点A出发3以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t?1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
y （绍兴市中考试题）
y
D B B C C
E
Q Q
O P 图1
A x O 图2 P A x
解题思路：对于（3），假设能，由比例线段求出t的值，关键是看相应t的值是否在t的取值范围.
折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.
【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.
（1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图.
（“华杯赛”决赛试题）
解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.
【例6】 将正方形纸片ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．
解题思路：折痕EF两旁部分图形是关于EF成对称的，对于（2），通过相似三角形性质，把△CMG的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.
对于例6，如图，当M为CD边上的中点，则有BG?BC ，即G为BC的三等分点，3这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺第一定理.
作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论：
（1）无论怎样折叠，若点M落在CD上，则MG＝DM＋BG；
（2）无论怎样折叠，若点M落在CD上，连MA，GA，则∠MAG＝450.
能力训练
1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.
(宁夏回族自治区中考试题)
2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.
第1题图 第2题图 第3题图
(淮阴市中考试题)
3、如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.
(陕西省中考试题)
4、如图，EF为正方形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG＝_______度.
(武汉市竞赛试题)
5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝80，则∠EGC的度数为________.
0
第4题图 第5题图 第6题图
(台州市中考试题)
6、将一张长为70cm的长方形纸片ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是______cm.
(广东省中考试题)
7、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(宜宾市中考试题)
8、如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为 ( )
A.
1 B、2 C、3 D、4 2(河北省中考试题)
BDCA'EA
第7题图 第8题图 第9题图
9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.
(广西赛区选拔赛试题)
10、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折线DG，若AB＝2，BC＝1，求AG.
(安徽省中考试题)
11、如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知折痕
AE?53cm.EC3? ，求矩形ABCD的周长. FC4(厦门市中考试题)
12、如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点G. (1) 求证：AG＝C?G；
(2) 如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.
(深圳市中考试题)