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图2-4 关节-连杆组合的通用D-H表示法
D-H表示法建模的第一步是为每个关节指定本地参考坐标系，每个关节都必须指定x轴和z轴，由于D-H法不用y轴，一般不指定y轴。具体步骤如下： ? 所有关节用z轴表示，如果关节是旋转，z轴位于按右手规则旋转的方向，如
果关节是滑动的，z轴为沿直线运动的方向。关节n处z轴的下标记作n-1。对于旋转关节，绕z轴的旋转（?角）是关节变量，对于滑动关节，沿z轴的连杆长度d是关节变量。
? 如图2-4所示，通常关节不一定平行或相交，因此z轴通常是斜线，但总有一
条公垂线，正交于任意两条斜线。通常在公垂线方向上定义本地参考坐标系的x轴。例如an表示zn?1和zn之间的公垂线，xn的方向即沿an方向。 ? 如果两个关节的z轴平行，那么它们之间就有无数条公垂线，我们可以挑选与
前一公垂线共线的公垂线，从而简化模型。
? 若两相邻的关节z轴相交，则不存在公垂线，我们选择垂直于两轴平面的任意
直线，同样简化了模型。
在图2-4中，?角表示绕z轴的旋转，d表示z轴上两相邻公垂线之间的距离，
a表示每一条公垂线的长度，?角表示相邻两z轴的夹角。通常只有?和d以通过以下四步标准运动实现：
是变量。
从一个参考坐标系变换到另一个参考坐标系（例如从xn-zn到xn?1-zn?1），可
贵州大学本科毕业设计(论文) 第14页 ? 绕zn轴旋转?n?1，使得xn和xn?1相互平行且共面。 ? 沿zn轴平移dn?1距离，使得xn和xn?1共线。
? 沿xn轴平移an?1距离，使得的原点重合，此时两个坐标系的原点在同一位置。 ? 将zn轴绕xn?1旋转?n?1，使得zn和zn?1对准。至此，坐标系n和坐标系n+1
完全一致，变换结束。
在n+1和n+2坐标系间按照同样的运动顺序也可以实现坐标系间的变换。我们可以从参考坐标系开始，转换到机器人底座，再到第一个关节，依次下去直至末端执行器。每个变换矩阵（记作A）都是由上述四个矩阵依次右乘的结果：
nTn?1?An?1?Rot(z,?n?1)?Trans(0,0,dn?1)?Trans(an?1,0,0)?Rot(x,?n?1)?C?n?1－S?n?100??100???S?n?1C?n?100??010????0??001010????001??000?0??0?100an?1??10???0C??S?0100??n?1n?1????0010??0S?C?n?1n?1????0?0001????000??0?dn?1??1??0??0?0??1??
（2-23）
An?1?C?n?1?S?n?1????0??0?S?n?1C?n?1S?n?1S?n?1?C?n?1S?n?1C?n?1C?n?1S?n?10C?n?10?an?1S?n?1? （2-24） ?dn?1??1?an?1C?n?1?从机器人基座到手（末端执行器）之间的总变换可以表示为：
RTH?RT11T22T3...n?1Tn?A1A2A3...An （2-25）
为了简化计算，我们为关节和连杆参数制作一个表格，每个参数可以从机器人的原理图上读出，计算时再这些参数代入A矩阵。在本文中设计的简单三自由度机器人模型参数如图2-5所示。所有链接采用旋转关节，D-H参数如表2-1所示。
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图2-5 简单三自由度机器人（单位：英寸） 表2-1 机器人D-H参数表（逆转为正，顺转为负） 连杆i 1 2 3 4
?
d
0 65 0 0
a
0 0 200 150
?
90° 0° -30° - 30°
0° -90° 0° 0°
将上述角度值代入式（2-25），运用MATLAB进行计算出机器人初始位置坐标：
2.3.2逆运动学方程的求解
?1TA人的逆运动学。我们可以通过矩阵H左乘n来求解，如下：
为了让机器人处于适当的位姿，我们需要求解每个关节的角度值，这就是机器
RRTH?n??nY??A1A2A3...An???n???0o?oYo?0a?aYa?0?pY? （2-26） ?p??1??p??为了求解角度，我们从式：
A1?1开始，依次左乘上述矩阵，得到每个关节角度表达
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A?11?n??nY????n???0o?oYo?0a?aYa?0?pY??A2A3...An （2-27） ?p??1??p??因此，我们的三自由度机器人逆运动关节角度表达
?1?arctan(?PX/PY)
?2?arccos?PC?(1?C?3)?PYS?3?/?18(1?C?3)C?1????Z1??3?arccos?(PY/C?)2?(PZ)2?162/162???
?? （2-28）
2.4 微分运动
微分运动即机器人的微小运动，可以用它来推导不同部件之间的速度关系。
图2-6 （a）具有两自由度平面结构 （b）速度图
如图所示的两个自由度的简单机构，1表示第一个连杆相对于参考坐标系的旋转角度，下：
??2表示第二个连杆相对于第一个连杆的旋转角度。B点的速度可以计算如
VB?VA?VB/A?sin?i?l??cos?j?l(?????) （2-29） ??l1?11111212????)cos(???)?sin(?1??2)i?l2(?j1212将速度方程写成矩阵形式得到如下结果：
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?VB???l1sin?1?l2sin(?1??2)X ????V???l1cos?1?l2cos(?1??2)??BY????l2sin(?1??2)??? ???? （2-30）
l2cos(?1??2)?????方程左边表示B点速度的x,y分量。B点的位置我们可以用下述方程表示：
??XB?l1cos?1?l2cos(?1??2) （2-31） ???YB?l1sin?1?l2sin(?1??2)对方程中的
?1?2和
微分，写成矩阵形式如下：
?dX???lsin??lsin(???)1212?B??1d????l1cos?1?l2cos(?1??2)?YB??l2sin(?1??2)??d?1? ??? （2-32）
l2cos(?1??2)????d?2??我们看到，（2-29）和（2-31）式在形式上很相像，只是前者表示的是速度关系，后者表示的是微分运动的关系。因此在机器人运动中，我们可以将关节的微分运动与速度联系起来。