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表4.1 三次多项式规划关节角度
t
0 1 2 3 4 5 6
?1
0.0000 13.3333 46.6667 90.0000 133.3333 166.6667 180.0000
?2
0.0000 4.4444 15.5556 30.0000 44.4444 55.5556 60.0000
?3
0.0000 2.2222 7.7778 15.0000 22.2222 27.7778 30.0000
将上述边界条件代入4-4式，解得第一个关节轨迹参数为c0=0，c1=0，c2=15，
532(t)?15t?t；同样可得出第二个关节轨迹参数c0=0，=-5/3轨迹方程为：?1c33532(t)?5t?t；=0，=5，=-5/9轨迹方程为：第三个关节参数c0=0，c1=0，?2c1c2c395253(t)?=5/2，=-5/18轨迹方程为：?32t?18t c2c3我们将运动过程分为5段，则每秒钟机器人运动的关节角度如表4-1所示。 （2）关节空间内五次多项式轨迹规划
在三次多项式规划中，我们采用的边界条件是起点和终点的位置与速度，如果同时指定起点和终点的加速度，这样边界条件就增加到6个，可以用同样的方法进行五次多项式的规划：
2345?(t)?c0?ct?ct?ct?ct?ct （3-5） 12345?(t)?c?2ct?3ct2?4ct3?5ct4 （3-6）?1234523???(t)?2c2?6ct?12ct?20ct （3-7） 345（3）关节空间内抛物线过渡的线性运动轨迹规划
在关节空间轨迹规划的另一种方法就是让关节以恒定的速度在起点和终点之间运动，轨迹方程相当于一次多项式，速度为常数，加速度为零。这样意味着在起点和终点的加速度必须为无穷大，为避免这一情况，线性运动在起点和终点可以用抛物线来过渡。如图4-6，抛物线与直线过渡段在时间和处是对称的，由此得到：
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12?(t)?c0?ct?ct122?(t)?c?ct （3-8） ?12???(t)?c2
图4-6 抛物线过渡的线性段规划方法
此时抛物线运动段的加速度为一常数，在A点和B点速度连续，将边界条件代入得：
??(t?0)??i?c0????(t?0)?0?c1?????(t)?c2从而得出抛物线的方程为：
?c0??i???c1?0
????c2???(t)??i???(t)?c2t???(t)?c212c2t2 （3-9）
将零初速度，线性段常值速度?以及零末端速度代入上式，得到：
12c2tb2??ct???A2b?A??i?
?B??A???(tf?tb)?tb???A???tf?2tb????????BA 贵州大学本科毕业设计(论文) 第25页
?f??B?(?A??i)??0?f从而可求出过渡时间：
（3-10）
?i??f??tftb?? （3-11）
显然，不能大于总时间的一半，否则整个过程中只有加减速而没有直线运动。终点的抛物线段与起点是对称的，只是加速度为负而已。
我们依然用设计的三自由度机器人来进行规划。在其初始位置基础上，我们要求机器人手臂在6S后分别运动?1=180°，?2=60°，?3=30°中间匀速运动的速度分别为v1?40?/s，v2?12?/s，v3?6?/s，那么过渡时间分别为：
tb1?0?180?40?60?60?12?60?30?6?6?1.5(s)，tb2??1.0(s)，tb3??1.0(s)
40126匀加速，匀速，匀减速运动方程分别如下：
1802????t?23??80????t??i?A3??????80第一个关节角?1： ?3????30?40?(t?1.5)????40 ?A??B? ?????0?180?2??180??(6?t)?23??80???(6?t) ?B??f?
3???80?????3?1?2???12t?2???第二个关节角?2：?i??A???12t
?????12??? 贵州大学本科毕业设计(论文) 第26页
???6?12?(t?1)?? ?A??B? ??12?????0?1?2??60??12?(6?t)?2?????12?(6?t) ?B??f? ??????12???1?2???6t?2???第三个关节角?3：?i??A???6t
?????6??????3?6?(t?1)?? ?A??B? ??6?????0?1?2??30??6?(6?t)?2?????6?(6?t) ?B??f? ??????6???则在0s到6s关节的角度分别如表4-2所示：
表4-2 抛物线过渡规划关节角度 t 0 1 2 3 4 5 6
?1
0 40/3 50 90 130 500/3 180
?2
0 6 18 30 42 54 60
?3
0 3 9 15 21 27 30
（4）直角空间轨迹规划
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直角坐标空间轨迹与机器人相对于直角坐标系的运动有关，机器人末端执行器的位姿就是沿循直角坐标空间的轨迹。实际上所有的关节空间轨迹规划的方法都可用于直角坐标空间的轨迹规划。其差别在于：对于关节空间的轨迹规划，规划函数生成的值就是关节值，而直角坐标空间轨迹规划函数生成的值是机器人末端执行器的位姿，必须通过反复求解逆运动学方程来计算关节角。
其过程可以综合如下： 将时间增加一个增量t?t??t；
利用所选择的轨迹函数计算末端执行器的位姿； 利用机器人逆运动学方程计算位姿对应的关节量； 将关节信息传递给控制器； 重复以上循环过程。
3.3.2 轨迹规划仿真分析
（1）三次多项式轨迹规划仿真分析
我们在ADAMS里进行三次多项式轨迹仿真时，用的是STEP函数。[13] STEP函数利用的是三次多项式逼近海赛阶跃函数。STEP阶跃函数有连续的一阶导，但在起点处的二阶导不连续，在速度图像上表现为速度连续但加速度不连续。
我们设定机器人三个部分在6S时间内分别转动180°，60°，30°，为了分析其运动特性，我们分别选取机器人小臂PART6末端的PART6_MARKER_6点的运动参数进行分析。
机器人小臂末端的PART6_MARKER_6在X,Y,Z三个方向上的位移曲线如下：
图4-7 PART6_MARKER_6在X,Y,Z三个方向上的位移图