§1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念
自主学习
1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．
3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．
4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]． (2)满足不等式a (4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)． (5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x 对点讲练 判断对应是否为函数 【例1】 判断下列对应是否为函数： 2 （1）x?，x≠0，x∈R；（2）x?y，这里y2＝x，x∈N，y∈R； x (3)集合A＝R，B＝{－1,1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？ 分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应． 2 解 (1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定， x2 所以当x≠0时，→是函数， x 2 这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．（2） 当x=4时，y2 =4，得y=-2,不是有唯一值 x和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应． 规律方法 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 变式迁移1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数： （1）A=R，B=R，对任意的x∈A，x→x； （2）A={（x，y）|x，y∈R}，B=R，对任意的（x，y）∈A，（x，y）→x+y； （3）A=B=N*，对任意的x∈A，x→|x-3|. 解 (1)是． (2)不是，因为集合A不是数集． (3)不是，因为当x＝3时，在集合B中不存在数值与之对应． 已知解析式求函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域： －x311(1)y＝； (2)y＝2； (3)y＝2x＋3－＋. 2x－3x－21－1－x2－xx 分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围． ??1－x≥0，?x≤1 解 (1)要使函数有意义，需????x≤1且x≠0，所以函数y＝ ?x≠0??1－1－x≠0 2 3 的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． 1－1－x ??－x≥0， (2)要使函数有意义，需?2 ?2x－3x－2≠0? x≤0，??1 ??1?x≤0且x≠－2. ??x≠2且x≠－2－x故函数y＝2的定义域为 2x－3x－2 ?－∞，－1?∪?－1，0?. 2??2?? 2x＋3≥0，?? (3)要使函数有意义，需?2－x>0， ??x≠0.3 解得－≤x<2且x≠0， 2所以函数y＝2x＋3－ 11 ＋的定义域为 2－xx ?－3，0?∪(0,2)． ?2? 规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等． 变式迁移2 求下列函数的定义域： ?x＋1?6(1)f(x)＝2； (2)f(x)＝3x－1＋1－2x＋4； (3)f(x)＝. x－3x＋2|x|－x解 (1)由x2－3x＋2≠0，得x≠1，x≠2. 6 ∴f(x)＝2的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}． x－3x＋2 ??3x－1≥011(2)由?，得≤x≤. 32?1－2x≥0? 0 11?∴f(x)＝3x－1＋1－2x＋4的定义域是??3，2?. ?x＋1≠0?x≠－1??(3)由?，得? ??|x|－x≠0|x|≠x，?? ∴x<0且x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}． 两函数相同的判定 【例3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2； (2)f(x)＝x，g(x)＝x2； x2－4 (3)f(t)＝t，g(x)＝x； (4)f(x)＝，g(x)＝x＋2. x－2 33分析 要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数． 解 (1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同， 故不是同一函数． (2)g(x)＝x2＝|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数． (3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数． (4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数． 规律方法 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应关系不同，两个函数也是不同的； (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系； (4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关． 变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数： (1)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x?x＋1?； (2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t； (3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)． 解 (2)是，(1)、(3)不是． 对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)， 而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． (3)也是定义域不同． 求函数的值域 【例4】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x，定义域A＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域； 1 (2)求函数f(x)＝2，x∈R，在x＝0,1,2处的函数值及该函数的值域． x＋1 解 (1)函数的定义域为A＝{0,1,2,3}，分别令x＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－ 1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}． 11 (2)f(0)＝1，f(1)＝，f(2)＝. 25 容易看出，这个函数当x＝0时，取得最大值，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0. 从而可知，这个函数的值域为(0,1]． 规律方法 (1)求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数，其值域是指集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域和对应关系．对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]与f(x)＝x2－2x，x∈R. (2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用． 变式迁移4 (1)函数f(x)＝x－1(x≥1)的值域为________(用区间表示)； 2 (2)函数y＝(1≤x≤2)的值域为______(用区间表示)． x答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2] 1．函数符号y＝f(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值． 2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义． 3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具． 一、选择题 1．下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是( ) 1A．A＝B＝R，f(x)＝|x| B．A＝B＝R，f(x)＝ x C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3 D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0 答案 B 课时作业