，
∴△BED≌△CEF， ∴CF=BD，
∴四边形BFCD是平行四边形， ∵∠BAD=∠CAD， ∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，
2
∴CE=DE?AE， 设DE=x，
∵BC=8，AD=10， 2
∴4=x（10﹣x），
解得：x=2或x=8（舍去） 在Rt△CED中， CD=
=
=2
．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键． 17．（2015?安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；
第16页（共20页）
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长
最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=
．
【解答】解：（1）连结OQ，如图1， ∵PQ∥AB，OP⊥PQ， ∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=∴OP=3tan30°=， 在Rt△OPQ中，∵OP=∴PQ=
=
，
，OQ=3， ；
（2）连结OQ，如图2， 在Rt△OPQ中，PQ=
=
，
当OP的长最小时，PQ的长最大， 此时OP⊥BC，则OP=OB=， ∴PQ长的最大值为
=
．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形． 18．（2015?滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D． （1）求
的长．
（2）求弦BD的长．
第17页（共20页）
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算． 【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，
求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．
（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得
∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt△ABC中， ∵
，
，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°， ∴
的长=
．
（2）∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD， ∴AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°， 在Rt△ABD中， BD=AB×sin45°=10×
．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
第18页（共20页）
（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°
的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
19．（2015?丹东）如图，AB是⊙O的直径，
=
，连接ED、BD，延长AE交BD的延
长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算． 【专题】证明题． 【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到
∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可；
（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案． 【解答】（1）解：如图，连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴OD⊥CD，
∵OA=CD=2，OA=OD， ∴OD=CD=2，
∴△OCD为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=（2）证明：如图，连接AD， ∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵
=
，
﹣
=4﹣π；
∴ED=BD，∠MAD=∠BAD， 在△AMD和△ABD中，
，
第19页（共20页）
∴△AMD≌△ABD， ∴DM=BD， ∴DE=DM．
【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法． 20．（2014?湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA， ∴OE=6，
∴CE==
．
=2，AE===8，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
第20页（共20页）