第三节 向心力的实例分析
[通读速记·方法点津] 知识与方法 水平面内圆周运动 关键要点 1、汽车、自行车的转弯问题 2、火车转弯问题 1、汽车过桥问题 2、绳系小球通过最高点 3、杆连接小球过最高点 方法技巧 概括归纳法 竖直面内圆周运动 对比理解 [精读探究·纵横拓展] 一、转弯时的向心力实例分析
○理要点：
1、汽车、自行车转弯问题
汽车在水平路面上转弯，靠的是轮胎与路面间的静摩擦力。设汽车以速率v转弯，要转的弯的半径
v2v2为R，则需要的侧向静摩擦力F?m。如该汽车与地面间侧向最大静摩擦力为Fmax，有Fmax?mRR得，转弯的最大速率vmax?2、火车转弯问题
火车在转弯处，外侧的轨道高于内侧轨道，火车的受力分析如图所示，其转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。
设车轨间距为L，两轨道高度差为h，车转弯的半径为R，质量为M的火车在轨道上行驶。
F Mg FmaxR，超过这个速率，汽车就会侧向滑动。 mFN h LF由火车的受力分析可知tan??。
Mg由三角形边角关系可知sin??因为θ角很小，所以tanθ=sinθ。由于火车作匀速运动，其合外力充当向心力。所以
θ v2Mgtan??M
R解得：v?○重拓展：
（1）若火车的速度v?（2）若火车的速度v?ghR LghR，重力和支持力的合力恰好充当火车圆周运动的向心力，不需要挤压铁轨。 LghR，重力和支持力的合力不足以充当火车圆周运动的向心力，火车挤压外侧L1
铁轨。使外侧轨道对火车产生一个向里的弹力，补充不足的向心力。
（3）若火车的速度v?ghR，重力和支持力的合力大于火车圆周运动的向心力，火车挤压内侧铁轨。L抵消一部分重力和支持力的合力。
二、竖直平面内的圆周运动实例分析
○理要点：汽车过桥和竖直面内的圆周运动
1、汽车过桥问题
在汽车过拱桥时，汽车的向心力是由汽车的重力和路面的支持力来提供的。当路面对汽车的支持力为零时，汽车将脱离路面，因此，必须保证支持力N＞0，即汽车在最高点时速度的最大值是刚好重力提
υ2供向心力，即mg＝m，即该圆周运动的最大速度为v＝gr，当速度为该值时，汽车将由沿桥面切
r线方向上的速度（水平速度）和只受重力作用，而做平抛运动。因此，汽车过拱桥时，速度应小于gr。 2、小球在绳和杆的作用下通过最高点问题
（1）在最低点，不论是线拉物体还是杆连物体，线或杆的弹力指向圆心（竖直向上），物体的重力竖直
υ2向下，二者的合力提供向心力，则有mg＋T＝mr?＝m；
r2
υ2（2）在最高点时，线拉物体的临界状态是T＝0，重力提供向心力mg＝m，即v＝gr。因此可以看
r出速度必须大于等于gr才能保证物体做圆周运动。
而杆连物体时，杆可以对物体提供支持力，因此物体在最高点速度可以为零。当0＜v＜gr，杆对物体提供支持力；当v＝gr时，重力刚好提供向心力，杆施加的力为零；当v＞gr时，杆对物体施加的是拉力，此时和线拉物体的效果是一样的。
[读题悟法·思维激活]
○读题型组
题型一：汽车转弯问题
例1、汽车与路面的动摩擦因数为? ，公路某转弯处半径为R（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问： （1）若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
（2）若将公路转弯处路面设计成外侧高、内侧低，使路面与水平面有一倾角? ，如图所示，汽车以多大速度转弯使，可以使车与路面间无摩擦力？
读思路：在路面水平的情况下，汽车转弯所需的向心力是由汽车和路面之间的静摩擦力来提供的，当公路转弯处是外高内低的斜面时，重力和斜面的支持力将在水平方向上提供一个合力，加上和路面的静摩擦力来提供向心力，此时，在同样的情况下，所需的静摩擦力就减小。
规范解：（1）汽车在水平路面上转弯时，汽车转弯的向心力由静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大时，汽车的转弯速度最大。由
FN υ2?mg＝m
r
2
F合 mg
解得 v＝μgr
(2) 当转弯处路面倾斜，且重力和支持力 的合力恰等于向心力时，此转弯速度最为
理想，则有mg tan?＝mυ2r
解得 v＝grtanα
题后小结：运动物体在转弯时所需的向心力也是由物体所受到的合力来提供的。这时应该注意做圆周运动的圆面和受力不在同一个平面内，但合力却一定在圆面内，沿半径方向。
题型二：绳系物体过最高点问题
例2、如图，质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s， g取10 m/s2，求：
(1) 在最高点时，绳的拉力？
(2) 在最高点时水对小杯底的压力？
(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
读思路：不论取杯子和杯子里的水为研究对象，还是只研究杯子里的水，这两种情况都属于线拉物体的模型，而这种模型中在最高点的研究是一个重点和难点。
规范解：(1) 求绳的拉力时，选杯子和杯子里的水这个整体为研究对象，它们做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力T的合力。则有
mg＋T＝mυ2 r
代入数据，解得T＝9N
(2) 求水对杯底的压力，应该以水为研究对象，先求杯底对水的压力，然后根据牛顿第三定律得到水对杯底的压力。水做圆周运动的向心力是重力和杯底对水的压力N的合力。即
mυ2mg＋N＝r
代入数据解得N＝3 N
(3) 水不从杯子里流出的临界情况是水的重力刚好都用来提供向心力。即
mg＝mυ2r
解得v＝10m/s
题后小结：解决绳的连接体过最高点的问题，是因为在最高点，绳子只能给物体施加拉力，而不能是支持力，这就物体其在最高点有最小合外力只能等于重力，对应的有其最小速度。
3
题型三：杆连物体过最高点问题
例3、如图所示，小球A质量为m.固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高位置时，杆对球的作用力为拉力,拉力大小等于球的重力。求： （1）球的速度大小；
(2)当小球经过最低点时速度为6gL，杆对球的作用力的大小和球的向心加速度大小。
读思路：竖直平面内的杆连物体的圆周运动，主要就是注意在最高点是杆有提供拉力、支持力和没有力三种情况。在受力分析时应该引起注意力的方向。
规范解：(1)小球A在最高点时，对球做受力分析：重力mg; 拉力F=mg
根据小球做圆运动的条件，合外力等于向心力。
υ2mg＋F＝m ①
LF＝mg ②
解①②两式，可得v＝2gL
(2)小球A在最低点时，对球做受力分析：重力mg; 拉力F，设向上为正
根据小球做圆运动的条件，合外力等于向心力
?2υ2F－mg＝m，解得F＝mg＋m＝7 mg
LL?2而球的向心加速度a＝＝6g
L题后小结：解决杆的连接体过最高点的问题，主要考虑在最高点，杆不仅可以给物体拉力，而且可以是支持力，因此物体在最高点的合外力最小等于零，对应的是其最小速度。
○读创新题
思维激活： 杆或绳的连接物体过最高点问题，是该部分的重点及难点内容。其在最高点的最小速度取决于其在最高点所受的最小合外力。由于绳子只能给物体拉力，两者的受力不同决定了在最高点的最小速度不同。关键还是正确的对物体在最高点进行受力分析。
例4、(应用性题)飞机俯冲拉起时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象也叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至昏厥，飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力。图是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测验人的抗荷能力。
A B 离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，若被测者所受的重力为G，现观察到图中的直线AB（即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角。求 （1）被测者做匀速圆周运动所需的向心力多大？
4
（2）被测者对座位的压力多大？
读思路：前面的信息是让我们了解该部分内容，真正对我们解题起作用的是后面的题干。从中提取有用信息，对被测者进行受力分析，运用所学的力的合成，结合牛顿运动定律来列方程求解。 规范解：被测者做匀速圆周运动的向心力由他所受的重力和座位对他的支持力的合力来提供，对其受力分析如图所示。 F （1）做匀速圆周运动需要的向心力
30° F向 F向＝Gcot30°＝3G
（2）座位对其的支持力为F＝G/sin30°＝2 G
G 由牛顿第三定律可知，飞行员对座位的压力大小也为2 G。
题后小结：该题考查了做匀速圆周运动的物体的向心力是由物体所受的重力和支持力的合
力来提供的。情景设置比较新颖，但题目的难度不大，乍看起来，好像是条件不足，但实际上，在解答时，只要正确的判断向心力的来源，能够作出力的合成图示，就可以正确的求解。
○读高考题
例5、（探究性题）（06年全国卷
如图所示，一固定在竖直平面
II） 内的光滑的半圆形轨道ABC，其
半径R，轨道在处与水C
＝5.0m 平地面相切。在C处放一小物块，
给它一水平向左的初速度v＝5，结果它沿CBA运动，通
0m/s
过A点，最后落在水平面上的D点，求C、D间的距离s取
。
重力加速度。
g＝10m/s2
读思路：该题首先通过题意，物体从A点离开后做平抛运动， 我们可以求得物体平抛运动的时间。从而只需要知道在A点的 速度，再利用动能定理求出到达A点的速度即可。
规范解：设小物体的质量为m，经A处时的速度为V，由A到D经历的时间为t，有
11
mV02＝mV2＋2mgR， 22
1
2R＝gt2
2
s＝Vt
由上述三式并代入数据得 s＝1 m
题后小结：解决竖直面内的圆周运动，我们要注意考虑其最高点和最低点。通过在特殊位置的合外力充当向心力，或者根据与平抛运动的有关知识来分析。
[读后升华 聚焦高考]
高考渗透点 ○高考要求
1、通过实例分析，体会向心力的来源，并能根据具体情况求出相关的物理量。
2、能够分析竖直面内的圆周运动的向心力的来源，并能运用所学知识来解决实际生活中的问题。
○命题透析
在未来几年的高考中，无论是水平面内的汽车和火车的转弯问题，还是竖直面内的圆周运动，都是
5