【2014备考】2013高考数学（文）真题（含部分模拟新题）分类汇编—
N单元 选修4系列 （含解析）
N1选修4-1 几何证明选讲
21．N1[2013·江苏卷] A．[选修4－1：几何证明选讲]
如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC. 求证：AC＝2AD.
图1－1
证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB， BCAC所以＝. ODAD
又BC＝2OC＝2OD. 故AC＝2AD. N2[2013·江苏卷]
B．[选修4－2：矩阵与变换]
－
已知矩阵A＝错误! 0,2)，B＝1,0) 2,6)，求矩阵A1B. 解：设矩阵A的逆矩阵为a,c) b,d)， 则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)． 即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)， 1
故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
2
?－1?
1－
从而A的逆矩阵为A1＝? ? 0,)))．
2??
?0?
?－1?
1－
所以A1B＝? ? 0,)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．
2??
?0?
N3[2013·江苏卷]
C．[选修4－4：坐标系与参数方程]
2
???x＝t＋1，?x＝2tanθ，
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)，曲线C的参数方程为?(θ为参
?y＝2t???y＝2tan θ
数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
?x＝t＋1，?
解：因为直线l的参数方程为?(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为
?y＝2t?
2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
??y＝2（x－1），1
联立方程组?2解得公共点的坐标为(2，2)，，－1.
2?y＝2x，?
N4[2013·江苏卷]
D．[选修4－5：不等式选讲]
已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0. 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b. 22．N1[2013·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲
如图1－6，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE，证明：
(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.
[来源学科网] 图1－6
22．解：证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝
π. 2
π， 2
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故FE2＝AF·BF. 所以EF2＝AD·BC. B．N1[2013·陕西卷] (几何证明选做题)如图1－4所示，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________．
[来源:Z。xx。k.Com] 图1－4
PEPD
6 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA
PAPE＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝6.
22．N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲如图1－6，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
图1－6
22．解：(1)联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB＝DC.
(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC的中垂线，所以BG＝3. 2
设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°， 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于
3. 2
13．N1[2013·天津卷] 如图1－2所示，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．
图1－2
15
13. [解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得，∠DCB＝∠ABE，∠DAB＋∠DCB＝180°，∠ABC＋∠DCB＝2180°，∴∠DAB＝∠ABC，∠DAB＋∠ABE＝180°，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠CAB＝∠DBA，又∠ADB＝∠ABD，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝5.由切割线定理得AE2＝BE·EC＝4×(4＋5)＝36，
由cos∠ABE＝－cos∠DAB，
AD2＋AB2－BD2AB2＋BE2－AE2
得－＝，
2AD·AB2AB·BE52＋52－BD252＋42－3615
即－＝，解之得BD＝.
22×5×52×5×4
22．N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－1：几何证明选讲
如图1－10，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
图1－10
BCDC
22．解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以
FAEA
∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
图1－11
(2)联结CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE， 由DB＝BE，有CE＝DC. 又BC2＝DB·BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而DC2＝DB·DA＝3DB2，
1故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为. 2
15．N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________．
图1－3
15.
213AB3 [解析] AB＝3，BC＝3?AC＝3＋9＝2 3，∵AB2＝AE·AC，∴AE＝.又∵tan∠ACB＝＝，22BC3
ππ33
∴∠ACB＝，故∠EAD＝.在△AED中，由余弦定理得ED2＝AE2＋AD2－2AE·ADcos ∠EAD＝＋9－2××3cos
6642π2121
＝，故ED＝. 642
N2 选修4-2 矩阵
N3 选修4-4 参数与参数方程
[来源学&科&网Z&X&X&K]
14．N3[2013·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
??x＝1＋cos θ，14.?(θ为参数) [解析] 将曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则其参?y＝sin θ??x＝1＋cos θ，?
数方程为?(θ为参数)．
??y＝sin θ.
???x＝2s＋1，?x＝at，11．N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：?(s为参数)和直线l2：?(t为参数)
?y＝s?y＝2t－1??
平行，则常数a的值为________．
???x＝2s＋1，?x＝at，2－a－a?11．4 [解析] l1：即x－2y－1＝0，l2：?即2x－ay－a＝0.由两直线平行，得＝≠，
1－2－1?y＝s，?y＝2t－1，??
解得a＝4.
23．N3[2013·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝π
4sin θ，ρcosθ－＝2 2.
4
(1)求C1与C2交点的极坐标；
x＝t＋a，??
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为?b3(t∈R为参数)，求a，
y＝t＋1??2b的值．
23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4. 直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
?x2＋（y－2）2＝4，??x1＝0，??x2＝2，?
?解?得?
???x＋y－4＝0y＝4，y＝2.??1?2
3
ππ所以C1与C2交点的极坐标为4，，2 2，.
24
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0. bab
由参数方程可得y＝x－＋1.
22
?
所以?解得a＝－1，b＝2.
ab
?－2＋1＝2，
23．N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4－4：坐标系与参数方程
??x＝2cos t，已知动点P，Q都在曲线C：?(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
?y＝2sin t?
b
＝1，2
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
23．解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α ，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
?x＝cos α＋cos 2α，?
M的轨迹的参数方程为?(α为参数，0<α<2π)．
?y＝sin α＋sin 2α?
(2)M点到坐标原点的距离
d＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
?x＝t2，?
C．N3[2013·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线?(t为参数)的焦点坐标是________．
??y＝2t，
(1，0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为：y2＝4x，为抛物线，其焦点坐标为(1，0)．
23．N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程
??x＝4＋5cos t，已知曲线C1的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
?y＝5＋5sin t?
线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.