三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？ 5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合：
f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。
并且已知G具有这些性质：
如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G；
-1
? 如果f属于G，则 f(x) = x/a - b/a 也属于G；
? 对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。
?
求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。
6. a1, a2, ... , an 是正实数，实数 q 满足0 < q < 1，试求出n格实数 b1, b2, ... , bn 使得：
a. ai < bi ，i = 1, 2, ... , n；
b. q < bi+1/bi < 1/q ， i = 1, 2, ... , n-1；
c. b1 + b2 + ... + bn < (a1 + a2 + ... + an)(1 + q)/(1 - q).
第16届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？
2. 三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是
sin A sin B <= sin2(C/2).
3. 试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：
∑ C(2n+1,2k+1)2，
上式中的求和是k从0到n，符号 C(r,s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!)。
4. 沿着一个 8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。
3k
5. a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：
a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。
6. 设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 n <= d + 2.
第17届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 已知x1 >= x2 >= ... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，求证 若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列则有
∑(xi-yi)2 <= ∑(xi-zi)2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。
2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一递增正整数序列，求证对所有i>=1，存在无穷多个 an 可以写成 an = rai + saj的形式，其中r，s是正实数且j > i。
3. 任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。
4. 令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。 5. 判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。 6. 找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足： I. II.
对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tnP(x, y)成立； 对所有实数x、y、z有
P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;
III.
P(1, 0) = 1。
第18届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。 2. 令P1(x) = x2 - 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。
3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。 4. 试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。
5. n是一个正整数，m = 2n， aij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。还有m个未知数x1, x2, ... , xm满足下面n个方程：
ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0,
其中i = 1, 2, ... , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1, x2, ... , xm）使得|xi|<= m。 6. 一个序列u0, u1, u2, ... 定义为：
u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 - 2) - u1，n = 1, 2, ...
求证
[un] = 2
其中[x]表示不大于x的最大整数。
(2n - (-1)n)/3
,
第19届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。
2. 在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正。求出这种序列最多有几项。
3. n>2是一给定整数，Vn 是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn 中的一个数m，如果不存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。求证：Vn 中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分解数的乘积。（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。） 4. 定义f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是实数常量。如果f(x)>=0对所有实数x都成立，求证
a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1.
5. a,b是正整数，设a2 + b2除以a + b得到商为q，余数是r。试求出所有的正整数对（a,b）使得q2 + r = 1977。
6. f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果f(n+1) > f(f(n))对所有正整数n都成立，则f(n) = n对每个n都成立。
第20界国际数学奥林匹克(IMO)
1. m、n都是正整数且n>m。如果1978m 和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。
2. P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹。
3. 两不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整数，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(n) = f(f(n)) + 1对所有n=1,2,3, ...成立。试计算f(240)。
4. 等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点。求证：线段PQ的中点恰为三角形ABC内切圆的圆心。 5. 令{ak} 为互不相同的正整数数列，求证对于所有的正整数n，有
∑ak/k2 >= ∑1/k；
上式中两边的求和都是k从1到n。
6. 某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1,2,...,1978。求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。
第21界 国际数学奥林匹克(IMO)
1. m,n是满足下述条件的正整数:
m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.
求证：m可被1979整除。
2. 一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形（其顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色，求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。
3. 平面上的两个圆相交，A是其中一个交点。现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动，在绕过一周之后这两点又同时回到了A点。求证：在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。
4. 给定一平面k，在这个平面上有一点P，平面外有一点Q，试找出平面k上的所有的点R使得(QP + PR)/QR 为最大值。
5. 试求出所有的实数a，使得存在非负实数x1, x2, x3, x4, x5满足下列关系式： x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a； x1 + 23x2 + 33x3 + 43x4 + 53x5 = a2； x1 + 25x2 + 35x3 + 45x4 + 55x5 = a3。
6. 令A、E是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从A点开始跳动，除了E点外，从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到E点时就停止运动。设 an 为恰好经过 n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数，求证：
a2n-1 = 0
a2n = (2 + √2)n-1/√2 - (2 - √2)n-1/√2。
第22界国际数学奥林匹克(IMO)
1. P是三角形ABC内部一点，D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足。试找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式达到最小值的所有P点。
2. 取r满足1 <= r <= n，并考虑集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集，每个子集都有一个最小元素。设F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值。求证：F(n,r) = (n+1)/(r+1)。