第44界国际数学奥林匹克(IMO)试题
1. 设A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一个101元子集，求证： 存在S中的100个元素T1 ,T2 ,...,T100 使得集合
Aj={X+Tj | X 属于 A} （j=1,2,...,100） 是两两不交的。
2. 求所有的正整数对(a,b)，使得 a2/(2ab2-b3+1)也为整数。
3. 一凸六边形，任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2 倍，求证这个六边行的
o每个内角都是120。
4. 圆内接四边形ABCD，从D向分别边BC,CA,AB引垂线，垂足分别为P，Q，R。求证： PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。
5. 设n是一个正整数，x1,x2,...,xn是实数并且x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn,求证：
a. (∑i,j |xi - xj| )2 ≤ (2/3) (n2 - 1) ∑i,j (xi - xj)2。 ? b.上式等号成立当且仅当x1,x2,...,xn是等差数列。
?
6. 设p是一个素数，求证存在一个素数q使得对每个整数n，n-p不能被q整除。
p2004国际数学奥林匹克(IMO)(中文版)
1. △ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N . 记BC中点为 O. ∠BAC和∠MON的角平分线交于R. 求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在 BC边上.
2. 求所有的实系数多项式f，使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a, b, c 有 f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c).
3. 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块和一边上连 续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）. 定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形 .
4. 设n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 满足
n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)
证明t_1, t_2, ..., t_n中随便取3个数都能构成一个三角
5. 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠
PDC = ∠BDA. 求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP.
6. 称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同. 求所 有的正整数n，n的某个倍数是交替的.
2005 International Mathematical Olympiad
第一天(4.5小时)
1. 等边三角形ABC各边上的六个点A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)构成六边长相等的凸六边形A1A2B1B2C1C2.
求证:三条直线A1B2,B1C2,C1A2交于一点.
2. 整数数列a1,a2,……中有无穷多个正项及无穷多个负项.已知,对每个正整数n,数a1,a2,…,an除以n所得到的余数互不相同.
证明:每个整数在数列a1,a2,……中都出现且只出现一次.
3. x,y,z为正数且xyz≥1.求证:
(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.
第二天(4.5小时)
4.试求与无穷数列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切项均互素的所有正整数.
5.取定凸四边形ABCD,其中BC=DA,BC与DA不平行.动点E,F分别在线段BC,DA上且满足BE=DF.直线AC与BD交于P, BD与EF交于Q, EF与AC交于R.求证:当E,F变动时,所有三角形PQR的外接圆周除了P外还有一个公共点.
6.一次数学竞赛共给出6道题.已知,每两题均被多于2/5的选手同时解出,但无一人解出所有6道题.证明:至少有两人各解出5道题.