2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 79
所属学校（请填写完整的全名）： 河南理工大学
参赛队员 (打印并签名) ：1. 梁文超
2. 陈海峰
3. 梁夏夏
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 竞赛指导组
日期： 2012年 07 月 18日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
最省用工方案
摘要
本文解决的是最省用工方案问题，通过分析我们建立了相应的数学模型，并通过模型对题给问题进行了求解与分析。
首先就问题一，我们根据B劳务公司的五个促销方案计算出人均优惠款，按照从高到低的顺序排列。用Excel绘制出优惠选择方案，将所聘用的人员按照所有可能的模式中人均优惠最多的方案进行逐步的组合，然后将对应项的职位人数减去。在剩余的聘任人数中再按照上面的操作步骤进行，直至主管聘任完毕。经过验证知道当优惠方案按照人均优惠款最多计算时付款总额优惠额度最大。即当A公司给出聘任数量时，就能按要求给出最优的组合方案。
当A公司的聘任数量及B公司提供的价格、模式优惠条件修改后，依然可以利用所给出的优惠模式先算出其人均优惠款，再利用系统程序自动排序，再结合所给出的方案，按照人均优惠款的排序，给能参加该模式的人员安排最优模式，后面的各个职位依次也能自动计算最优组合。以人均优惠款为目标能给出人员的合理安排模式。
当职位有几百或几千种，促销方案有几十或几百时，问题的解决方案于此也相类似。首先职位的多少多模型影响不大，依然可以适用。对促销方案，现将其分类，将人均优惠款一样的促销方案归为一类，再整理出各个职位能参加哪种优惠模式，建立相应的0,1矩阵，使其参加模式的情况清晰的表现出来，再由人均优款的高低顺序，逐个安排各个职位的人数，按此顺序得到的就为最优的组合方案。
问题二，按照表一，我们利用问题一中人均优惠款最大顺序模型原则进行排序，从而建立Excel表格，通过表格我们可以很轻松的看出方案的最优组合方式和付款总额优惠额度（每日）。按 “表一”职位情况和公司聘任数量，给出方案的最优组合方式，付款总额，优惠额度（每日），并提供最优组合明细，所得结果见图。
由建立的该模型为解决此类问题提供了一种很好的思路，对此类现实问题的求解也有一定的指导意义。
关键词：层次分析法 人均优惠款 最优组合方式
一、 问题重述
A公司为了节约成本，和B劳务公司签订劳务合同，提出“最省用工方案准则”，即同时满足多个节省方案时，以节省最多为准则。目前B劳务公司提供，1种主管职位，5种装配工职位，7种维修工职位。B劳务公司提供五种用工促销方案（计价为日工资）：
1). 主模式1：1个主管+任选1个装配工或维修工 优惠20元 2). 主模式2：1个主管+任选2个装配工或维修工（可以1个装配工，1个维修工） 优惠40元
注：优惠的意思是：如单聘任，总价为各单项的和，参加模式后，付款为总价减去优惠款。
3). 70元两人：付70元可以聘任参加“70元两人活动职位”中的两人 4). 100元两人：付100元可以聘任参加“100元两人活动职位”中的两人 5). 维修工第二人半价：第一人原价，第二人半价（两人价格不一样时，只能价格低的享受半价，高的是原价，两人可以相同）。
现要求我们通过数学建模来完成以下问题：
（1）为了帮助B公司实现“最省用工方案准则”，给出解决该问题的一般数学模型，在A公司提出聘任数量时，就能按要求给出最优组合方案。并且该方案最好具有一定的扩展性，在聘任数量、价格、模式优惠条件修改后，系统也能自动计算最优组合。另外，当职位有几百或几千种，促销方案有几十或几百时，问题的解决方案。
（2）按 “表一”职位情况和公司聘任数量，给出方案的最优组合方式，付款总额，优惠额度（每日），并提供最优组合明细。
二、 问题分析
2.1对问题一的分析：
用人公司向劳务公司提出用人要求，按照劳务公司提出的最省用工方案准则，同时满足多个节省方案时，以节省最多为原则。问题的解决方法就是寻找最佳的解决方案。
最省的用工方案，就是合理的安排各个职位之间的搭配，使整体能够得到优惠款的最大值。如何安排待聘人员之间的组合，就是解决该问题的方法。将每一个组合看作是一个步骤中决策，每一个步骤中，都要选择当前待聘人员中选择众多方案中最优惠的组合，按照这样的方法和步骤循环做下去，直到所有的人员都选聘完毕。
图1
对于问题一：
如何建立数学模型，使得劳务公司在劳务准则的框架下取得最优惠的价格，按照人均优惠最多的组合进行聘任，选择的标准就是人均的优惠款最多。
根据目前劳务公司提供的服务，按照如下的流程进行操作，可以得到最优的组合方案，使得整体的优惠款最多。 图2
在聘任的数量、价格、模式优惠条件发生改变时，系统能够自动的计算最优组合，体现出良好的性，还是以当前众多的方案所组成的组合中选取人均优惠款最多的组合先进行选任。然后再在剩余的待聘人员中按同样的方法进行循环操作，直到所有的职位全部聘任。运算的流程如下：