椭圆离心率的解法
椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。
一、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，｜PF｜
P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=
｜PD｜②e=
｜QF｜｜AO｜｜AF｜
③e=④e=
｜BF｜｜BO｜｜BA｜｜FO｜
｜AO｜
⑤e=
D P Q A B F O
评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
a2
∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= ∴有③。（看上去没有
c关联，实际用代入法则易发现规律）
x2 y2
题目1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，
a b 若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？
A B F1 F2
思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内（即利用三角形把已知条件转化为a与c的关系，用c表示a），构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=
c
= 3-1 a
x2 y2
变形1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1
a b
P F2 OF1 为正三角形，求椭圆离心率？
解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°那么假设c=1,2a=1+3图形如上图，e=3-1
x y 变形2: 椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是a b 椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
2 2P B F1 O F2 A
b2 解：∵｜PF1｜= ,｜F2 F1｜=2c ,｜OB｜=b ,｜OA｜=a aPF2 ∥AB ∴
｜PF1｜ b
= 又 ∵b= a2-c2
｜F2 F1｜a 5 5
∴a2=5c2 e=
点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 x2 y2
题目2：椭圆2 +2=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个
a b 顶点，∠ABF=90°，求e?
B A O F
解：｜AO｜=a ,｜OF｜=c ,｜BF｜=a ,｜AB｜=a+b
勾股定理：a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 -1-5 e=(舍去) 2222
x2 y2 -1+5
变形：椭圆2 +2=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短
a b 2轴的一个顶点，求∠ABF？
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°
5-1
引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。
2
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。 x2 y2 题目3：椭圆2 +2=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交a b 椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m
22??a –c=m(2a-c)
两式相除22在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：? 2(a-c)=m(2a+c) ??：2a-c12
=?e= 2a+c2 3
设x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 作图可知
A为y>0的半平面内直线与椭圆交点 B为y<0的半平面内直线与椭圆交点
作对应于椭圆左焦点的准线x=-a^2/c
分别过A，B做准线的垂线,垂足分别为M，N 设准线与x轴交于P点 根据离心率e的定义
e=|AF|/(|PF|+|AF|cos60)=|BF|/(|PF|-|BF|cos60)
|AF|=2|BF|
则|PF|+2|BF|cos60=2(|PF|-|BF|cos60) |PF|=2|BF|
代入e=|BF|/(|PF|-|BF|cos60)=1/(2-1/2)=2/3
x2 y2
题目4：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜
a b F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
｜F1F2｜｜F1P｜｜PF2｜
解：由正弦定理： = =
sin F1PF2 sin F1F2P sin PF1F2 根据和比性质：
｜F1F2｜｜F1P｜+｜PF2｜
=
sin F1PF2 sinF1F2P+sin PF1F2 变形得：
｜F1F2｜ sin F1PF2
==
｜PF2｜+｜F1P｜ sin F1F2P +sin PF1F2
=
2c
=e 2a
∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° sin90°6e= = sin75°+sin15° 3
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 sin F1PF2 e= sin F1F2P +sin PF1F2
x2 y2
变形1：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆
a b 上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α
sin F1PF2 sin60°
e=== sin F1F2P +sin PF1F2 sinα+sin(120°-α) 1 11
≥ ∴≤e<1
2sin(α+30°)22