xy
变形2：已知椭圆+ =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点
4 4t2
1αβ1
（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若 3 22 2 求e的取值范围？ 分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。 解;根据上题结论e= sin F1PF2 sin(α+β) = sin F1F2P +sin PF1F2 sinα+sinβ 22 α+βα+β α β α β 2sin cos cos cos -sin sin 2 2 2 2 2 2 == α+βα-β α β α β 2sin cos cos cos +sin sin 2 2 2 2 2 2 α β tan 2 2 ==e α β 1- tan tan 2 2 1- tan 11-e 111 ∵<< ∴ 三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式. x y 题目5：椭圆2 +2=1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆 a b →→→ 于A、B两点，OA+OB与 a=(3,-1)共线， 2 2 A(X1,Y1) O B(X2,Y2) 求e? 法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ?b2x2+a2y2=a2b2 ?? ??y=x-c (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 2a2c2a2c-2b2cx1+x2=22 y1+y2=22-2c=22 a+ba+ba+b→→ OA+OB=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 6 -（x1+x2）=3(y1+y2)既 a=3b e= 3 2 2 →→→ 法二：设AB的中点N，则2ON=OA+OB ??? x12y12 + =1 ①a2 b2 ① -② 得： x22y22 + =1 ② a2 b2 y1-y2b2x1 +x2 b26 =- 2 ∴1=- 2(-3) 既a2=3b2 e= a 3 x1-x2 a y1+y2四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。 x2 y2 题目6：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满 a b 足MF1·MF2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？ →→ M F1 O F2 →→ 分析：∵MF1·MF2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。 解：∴c a2=b2+c2 >2c2 ∴0 2 2 x2 y2 题目7：椭圆2 +2=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准 a b 线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？ P M F1 O F2 分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e a -cc a2y0 解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,) c 2 2 b2y0 a2→ 既(, ) 则PF1 =-( +c, y0 ) 2c 2 c 2 by0 →→→ MF2 =-( -c, ) PF1·MF2 =0 2c 2 a2 b2y0 ( +c, y0 ) ·( -c, )=0 c 2c 2 a2 b2y02 ( +c)·( -c)+ =0 c 2c 2 a2-3c2≤0 ∴ 3 ≤e<1 3 2 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c a2a2a2 ｜PF2｜≥-c 则2c≥-c 3c≥ c c c 3c2≥a2 则 3 ≤e<1 3 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。 离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。