2013年5月JODY的高中数学组卷
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2013年5月jody的高中数学组卷
一．解答题（共4小题）
2
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若（Ⅲ）设集合
A∩B中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式． 2．已知
为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点
，求数列{bn}的前n项和Tn；
，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是
（1）求f（x）的表达式； （2）定义正数数列{an}，
，求数列{an}的通项公式；
2
（3）已知
，设Sn为bn的前n项和，证明：
．
3．已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，…，
依此类推，一般地，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1． （1）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{bn}满足
．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2010）﹣（S1+S2+…+S2010）．
4．（理）已知函数
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．
（1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值； （2）设
，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；
（3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式
…
请说明理由．
对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，
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2013年5月jody的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共4小题）
2
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若（Ⅲ）设集合
，求数列{bn}的前n项和Tn；
，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是
A∩B中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式． 考数列与函数的综合；数列的求和；等差数列的性质． 点： 专综合题． 题： 分（I）根据点P（n，S）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，可得nn析： 减，即可求得数列{an}的通项公式； （II）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和； ，再写一式，两式相（III）先确定A∩B=B，再确定{cn}是公差为4的倍数的等差数列，利用110＜c10＜115，可得c10=114，由此可得{cn}的通项公式． 2解解：（I）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x+2x的图象上，∴答： ， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1．…（2分） 当n=1时，a1=S1=3满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an=2n+1．…（3分） （II）∵kn为an与an+1的等差中项 ∴∴∴由①×4，得①﹣②得：=． ① ② …（4分） ∴…（8分） ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com （III）∵∴A∩B=B ∵cn∈A∩B，c1是A∩B中的最小数，∴c1=6． ∵{cn}是公差为4的倍数的等差数列，∴．…（10分） 又∵110＜c10＜115，∴所以c10=114， 设等差数列的公差为d，则，解得m=27． ，…（12分） ∴cn=6+（n+1）×12=12n﹣6， ∴cn=12n﹣6．…（13分） 点本题考查数列与函数的关系，考查数列的通项与求和，正确运用求和公式是关键． 评： 2．已知
为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点
（1）求f（x）的表达式； （2）定义正数数列{an}，
，求数列{an}的通项公式；
2
（3）已知
，设Sn为bn的前n项和，证明：
．
考点： 数列与函数的综合；奇函数． 专题： 计算题；综合题． 分析： （1）根据所给的函数是一个奇函数，根据奇函数的定义，得到a的值，根据函数过一个定点，把点的坐标代入，利用待定系数法得到结果． （2）根据条件写出数列的递推式，下面整理数列，通过配凑整理出数列是以2为首项，为公比的等比数列，写出数列通项，变形整理出结果． （3）根据条件写出新数列的通项，观察新数列分母的结构，整理出可以应用裂项的方法来解题，用裂项做出数列的前n项和，利用分析法写出要证的不等式． 解答： 解：（1）为奇函数 ∴∴a=0 又f（x）过点， ， ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com ∴∴ ，∴b=1 （2）∵ ∴∴ ∴数列是以2为首项，为公比的等比数列 ∴∴ （3）由（2）知：∴∵∴ 点评： 本题考查数列和函数的综合，本题解题的关键是构造正确的新函数，判断出所给的数列是一个特殊的数列，本题是一个可以作为压轴题目出现的题目． 3．已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，f（x）的值域为[a3，b3]，…，依此类推，一般地，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）的值域为[an，bn]，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1． （1）若k=1，求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{bn}满足
．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2010）﹣（S1+S2+…+S2010）．
考点： 数列与函数的综合；数列的极限． 专题： 综合题． 分析： （1）因为f（x）=x+m，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数，所以其值域为[an﹣1+m，bn﹣1+m]=[an，bn]，从而发现数列 {an}，{bn}均为等差数列，易得其通项公式 （2）因为f（x）=kx+2（k＞0），当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数，所以f（x）的值域为[kan﹣1+2，kbn﹣1+2] =[an，bn]，所以bn=kbn﹣1+2（n≥2），再由极限的四则运算列方程可求出k （3）因为k＜0，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调减函数，所以f（x）的值域为[kbn﹣1+m，kan﹣1+m] *于是an=kbn﹣1+m，bn=kan﹣1+m（n∈N，n≥2）则bn﹣an=﹣k（bn﹣1﹣an﹣1），从而数列{bn﹣an}为一个以1为首项，﹣k为公比的等比数列，进而得到此数列的前n项和Tn﹣Sn 公式，再求数列{Tn﹣Sn }的前n项和即可得所求解 解答： 解：（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数， ?2010-2013 菁优网