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www.jyeoo.com 所以其值域为[an﹣1+m，bn﹣1+m] *于是an=an﹣1+m，bn=bn﹣1+m（n∈N，n≥2） 又a1=0，b1=1，所以an=（n﹣1）m，bn=1+（n﹣1）m． （2）因为f（x）=kx+m（k＞0），当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调增函数 所以f（x）的值域为[kan﹣1+m，kbn﹣1+m]，因m=2，则bn=kbn﹣1+2（n≥2） 假设存在常数k＞0，使得数列得故存在k=，使符合． ， （3）因为k＜0，当x∈[an﹣1，bn﹣1]时，f（x）为单调减函数， 所以f（x）的值域为[kbn﹣1+m，kan﹣1+m] *于是an=kbn﹣1+m，bn=kan﹣1+m（n∈N，n≥2） 则bn﹣an=﹣k（bn﹣1﹣an﹣1） n﹣1又b1﹣a1=1，∴bn﹣an=（﹣k） ∴Tn﹣Sn= 进而有 点评： 本题综合考查了数列的通项公式，数列极限，数列求和等知识点，运算量较大，解题时要耐心细致，认真体会其中的思想方法 4．（理）已知函数
，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．
（1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值； （2）设
，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；
（3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式
…
对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，
请说明理由． 考数列与函数的综合． 点： 专计算题． 题： 分（1）根据题：y1=f（x1），y2=f（x2），将f（x1）和f（x2）用函数表达式代入，利用对数的运算法则将它们相析：加，再化简可得 y1+y2=log22=1（定值），问题得证； （2）根据（1）的结论可得：， ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 因此可以将Tn按倒序的方法相加的排列，再将此式与原表达式相加，最后配成n﹣1对数的和，每一对数的和都等于1，因而可得（3）将不等式的两边都乘以； ，可得左边等于…作商相除的方法探求其单调性．证到，在（2）的基础上可得f（n）各项为正数，因此用，可得f（n+1）＜f（n），所以f（n）随着n的增大而减＜sinα，因此可得角α的取值范围． 小．不等式变形为f（1）＜sinα对一切n∈N*恒成立，得到解解：（1）当x1+x2=1时，答： =，所以y1+y2为定值1．…（4分） （2）由（1）得，所以，又 于是2Tn=（n﹣1）×1，所以（k=1，2，…，n﹣1），…（6分） ， ， （n∈N*，n≥2）．…（10分） （3）由已知，an=2n，n∈N*．…（11分） 由……令…，得， ，则由题意可得f（n）＞0， 于是 ==＜1 所以f（n+1）＜f（n），即f（n）随着n的增大而减小．…（15分） 所以当n∈N*时，f（n）的最大值为若存在角α满足要求，则必须所以角α的取值范围为， ．…（16分） ，（k∈Z）…（18分） ?2010-2013 菁优网
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www.jyeoo.com 点本题是一道综合题，解题的过程中用到了倒序相加法求和、用作商的方法证明数列的单调性和证明不等式恒成评：立等等知识点，属于难题．本题对函数与数列的一些高级处理有比较高的要求，考查的知识点与方法较多，综 合性较强． ?2010-2013 菁优网
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