分析 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的．任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量与自由电荷分布有关，因此，在高斯面上D 呈均匀对称分布，由高斯定理
?D?dS??q理求得．
0可得D（r）．再由E?D/ε0εr可得E（r）．
介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系V???rE?dl求得，或者由电势叠加原
极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷面密度ζ??pa． 解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 r ＜R D1?4πr?0
2D1?0；E1?0
R ＜r ＜R ＋d D2?4πr?Q
D2?2QQE?； 2224πr4πε0εrrr ＞R ＋d D3?4πr2?Q
D3?QQ； E?324πr24πε0εrr将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外． r1 ＝5 cm，该点在导体球内，则
Dr1?0；Er1?0
r2 ＝15 cm，该点在介质层内，ε
ｒ
＝5.0，则
Dr2?QQ?8?22?1； ?3.5?10C?mE??8.0?10V?mr2224πr24πε0εrr2r3 ＝25 cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则
Dr3?QQ?8?2；?1.3?10C?mE??1.4?102V?m?1 r3224πr34πε0r2（2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r3 ＝25 cm，
V3??E3?dr?r1?Q?360V 4πε0rr2 ＝15 cm，
V2???R?dr2E2?dr???R?dE3?drQQQ??
4πε0εrr24πε0εr?R?d?4πε0?R?d??480Vr1 ＝5 cm，
V1???R?dRE2?dr???R?dE3?drQQQ ??4πε0εrR4πε0εr?R?d?4πε0?R?d??540V（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε ＝ε0 ，极化电荷可忽略．故在介质外表面；
Pn??εr?1?ε0En??εr?1?Q
24πεr?R?d?ζ?Pn?在介质内表面：
?εr?1?Q24πεr?R?d??1.6?10?8C?m?2
Pn??εr?1?ε0En??εr?1?Q
4πεrR2ζ???Pn??εr?1?Q??6.4?10?8C?m?2
4πεrR2介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号． 6 －20 人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×109 m，两表
－
面所带面电荷密度为±5.2 ×10 C／m ，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度E?－32
ζ?9.8?106V/m；方向指向细胞外． ε0εr（2） 细胞壁两表面间的电势差U?Ed?5.1?10?2V．
6 －21 一平板电容器，充电后极板上电荷面密度为σ0 ＝4.5×105 C· m．现将两极板与电源
--2
断开，然后再把相对电容率为εｒ ＝2.0 的电介质插入两极板之间．此时电介质中的D、E 和P 各为多少？
分析 平板电容器极板上自由电荷均匀分布，电场强度和电位移矢量都是常矢量．充电后断开电源，在介质插入前后，导体板上自由电荷保持不变．取图所示的圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可求得电位移矢量D，再根据
E?D，F?D?ε0E ε0εr可求得电场强度E 和电极化强度矢量P． 解 由分析可知，介质中的电位移矢量的大小
D?Q?ζ0?4.5?10?5C?m?2 ΔS介质中的电场强度和极化强度的大小分别为
E?D?2.5?106V?m?1 ε0εrP?D?ε0E?2.3?10?5C?m?1
D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）．
6 －22 在一半径为R1 的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2 ，相对电容率为εｒ ．设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ．试求介质层内的D、E 和P．
分析 将长直带电导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面．在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布，所以电场是轴对称分布．取同轴柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得电位移矢量D 的分布．在介质中D??0?rE，
P?D??0E，可进一步求得电场强度E 和电极化强度矢量P 的分布．
解 由介质中的高斯定理，有
?D?dS?D?2πrL?λL
得
D?在均匀各向同性介质中
λer 2πrE?Dλ?er ε0εr2πε0εr?1?λP?D-ε0E???1-ε??2πrer
?r?6 －23 如图所示，球形电极浮在相对电容率为εr ＝3.0 的油槽中.球的一半浸没在油中，另一半在空气中.已知电极所带净电荷Q0 ＝2.0 ×10 C.问球的上、下部分各有多少电荷？
－6
分析 由于导体球一半浸在油中，电荷在导体球上已不再是均匀分布，电场分布不再呈球对称，因此，不能简单地由高斯定理求电场和电荷的分布．我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，静电平衡时导体球上的电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个半球电容并联，其相对无限远处的电势均为V，且
V?另外导体球上的电荷总量保持不变，应有
Q1Q2 （1） ?C1C2Q1?Q2?Q0 （2）
因而可解得Q1 、Q2 ．
解 将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上半球在空气中，电容为
C1?2πε0R
下半球在油中，电容为
C2?2πε0εrR