由分析中式（1）和式（2）可解得
Q1?C11Q0?Q0?0.5?10?6C
C1?C2εr?1C2εQ0?rQ0?1.5?10?6C
C1?C2εr?1Q2?由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变．可以证明，此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足E?E0的关系．事实上，只有当电介质均匀εrE0 ． εr充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足E?6 －24 有两块相距为0.50 的薄金属板A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A、B 分别相距0.25 mm，金属板面积为30 mm ×40 mm。求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？
分析 薄金属板A、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B 间的电
容。
解 （1） 由等效电路图可知
C?C23?C1?C2?C3?C1
C2?C3由于电容器可以视作平板电容器，且d1?2d2?2d3，故C2?C3?2C1 ，因此A、B 间的总电容
C?2C1（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于C2 （或者C3 ）极板短接，其电容为零，则总电容
C?3C1
6 －25 在A 点和B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示．（1） 求A、B 两点之间的等效电容；（2） 若A、B 之间的电势差为12 V，求UAC 、UCD 和UDB ．
解 （1） 由电容器的串、并联，有
CAC?C1?C2?12μF CCD?C3?C4?8μF
1111??? CABCACCCDC5求得等效电容CAB ＝4 μF．
（2） 由于QAC?QCD?QDB?QAB，得
UAC?CABUAB?4V CACUCD?CABUAB?6V CCDCABUAB?2V CDBUDB?6 －26 有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E．
分析 电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有
U?Q?d?δ??Qδ ε0Sε0εrS相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有
U?Q?d?δ? ε0S综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷 均会增加，而电势差保持不变． 解 （1） 空气平板电容器的电容
C0?ε0S d充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为
Q0?ε0SU dE0?U/d
（2） 插入电介质后，电容器的电容C1 为
?Q??d?δ??Qδ??ε0εrS C1?Q/?ε0εrS?δ?εr?d?δ??ε0S故有
C1?C1U?介质内电场强度
ε0εrSU
δ?εr?d?δ???E1空气中电场强度
Q1U ?ε0εrSδ?εr?d?δ?E1?Q1εrU ?ε0Sδ?εr?d?δ?（3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为
ε0S d?δεSQ2?0U
d?δC2???0 导体中电场强度 E2空气中电场强度
E2?U d?δ无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/εｒ． 6 －27 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εｒ 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A，B为平板电容器的导体极板，d0 为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？
分析 导体极板A、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C与材料的厚度的关系，可参见题6 －26 的分析． 解 由分析可知，该装置的电容为
C?则介质的厚度为
ε0εrS
d?εr?d?δ?d?εrd0C?ε0εrSεεεS ?rd0?0r?εr?1?C?εr?1?Cεr?1如果待测材料是金属导体，其等效电容为
C?导体材料的厚度
ε0S
d0?dd?d0??ε0S C实时地测量A、B 间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．
6 －28 利用电容传感器测量油料液面高度．其原理如图所示，导体圆管A与储油罐B 相连，圆管的内径为D，管中心同轴插入一根外径为d 的导体棒C，d、D 均远小于管长L 并且相互绝缘．试证明：当导体圆管与导体棒之间接以电压为U 的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为εｒ ）．