1．2．2组合
教学目标：
知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与
区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
m过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数?m之间的联系，掌握组合数公Cnn与组合数
式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定
义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程：
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种
不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 N?m1?m2???mn种不同的方法 2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同
的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N?m1?m2???mn 种不同的方法 3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．．．． 4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫
m做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示 m5．排列数公式：An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)（m,n?N?,m?n）
6阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1．
m7．排列数的另一个计算公式：An=
n! (n?m)!8.提出问题：
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合． ．．
二、讲解新课：
1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？
3m3启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以A4．．．．．．．．．
33求得，故我们可以考察一下C4和A4的关系，如下：
组 合 排列
abc?abc,bac,cab, abd?abd,bad,dab,acd?acd,cad,dac,bcd?bcd,cbd,dbc,acb,adb,adc,bdc,bca,bda,cda,cdb,cbadba dcadcb由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个
3元素的排列数A4，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有33个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A3种方法．由分步计数原理得：C4A34＝
C?A3433，所以，
3A4C?3．
A334m（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步： m① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；
mmmm② 求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝Cn． ?Am（3）组合数的公式：
Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1) C?m?Amm!mn或Cn?mn!(n,m?N?,且m?n) m!(n?m)!0 规定: Cn?1.
三、讲解范例：
7例2．用计算器计算C10．
解：由计算器可得
4例3．计算：（1）C7； （2）C10；
77?6?5?4＝35；
4!10?9?8?7?6?5?47（2）解法1：C10?＝120．
7!（1）解： C7?4 解法2：C10?10!10?9?8?＝120． 7!3!3!m?1m?1m?Cn． 例4．求证：Cn?n?m7证明：∵Cn?mn!
m!(n?m)!m?1n! ?n?m(m?1)!(n?m?1)!m?1?Cn?mm?1n?＝
m?1n! ?(m?1)!(n?m)(n?m?1)!n!
m!(n?m)!＝
∴Cn?mm?1m?1?Cn n?mx?12x?3例5．设x?N?, 求C2x?3?Cx?1的值 2x?3?x?1 解：由题意可得：? ，解得2?x?4， ??x?1?2x?3∵x?N?， ∴x?2或x?3或x?4，
当x?2时原式值为7；当x?3时原式值为7；当x?4时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．
例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．
解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .
(2）教练员可以分两步完成这件事情：
11第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有C17种选法； 1第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C11种选法．
所以教练员做这件事情的方法数有
111=136136（种）. C17?C11例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有
C210?10?9?45（条）. 1?2(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
2A10?10?9?90（条）.
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .
(1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
C3100?100?99?98= 161700 （种）.
1?2?31 (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格2品的抽法有C98种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有
12=9506(种). C2?C98(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2
12件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有C2种，因此根据分?C98类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有
121+C2C2?C98?C298=9 604 （种） .
解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3
件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即
33=161 700-152 096 = 9 604 （种）. C100?C98说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
222解：C6?C4?C2?90．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1