3.2.5 复杂交流电路的计算方法
前面对一般阻抗串并联交流电路的分析已经阐明，只要阻抗用复数、变量为相量形式，直流电路中介绍的分析方法在交流电路中同样适用。下面通过例题熟悉其分析计算方法。
??230?0?V 例3-9 图3-30电路中，已知V1a Z1 ??227?0?V Z?Z?0?1?j0.5?， V212?1V?3IZ3 Z2 ?2VZ3?5?j5? 。试求I?3。
解：对此题，用戴维南定理，叠加原理与节点 电压法均可简捷解出，经比较用节点电压法仅需两步， 其它两法均需三步，故择用节点电压法求解。
b 图3-30 例3-9电路图
?V???V?VV1212?Z3Z1Z2Z1????V?? ?V??Vab12111212Z3?Z1???Z1Z2Z3Z1Z3?????Vab?V1?V2?31?3??46?1?A I3Z32Z3?Z1??2?0? V， I??2?90?mA，ω=1000rad/s， 例3-10，在图3-31电路中，已知VSS? R1=R2=1kΩ， L=1H， C=1μF，求VC解：用戴维南定理求解（直流电路中已练过，
用戴维南定理最简便）
?SV? 见图3-32（a） （1）去电容C求开路电压Vab???V??I?RVabSS2??2?0??2?90??1 ?2?135?V（2）由图3-32（b）求等效内阻抗Z0=R2=1kΩ
（3）其等效电路如图3-35（c）
C R1 L ?SI?CVR2 图3-31 例3-10电路图
??则： Vc?jXC?Vab
ZO?jXC而： XC?1?1k? ?C???j?2?135??故： VC1?j2?90?V
a V?ab b
?SVa R1 L R2 C b R1 L R2 Z0 a ?abV?CVZ0 ?SIb （a） （b） （c）
图3-32 例3-10求解图
3.3 交流电路的频率特性
正弦交流电路中的感抗和容抗都与频率有关，当其频率发生变化时，电路中各处的电流和电压的幅值与相位也会发生变化，这就是所谓频率特性。幅值关于频率的关系叫幅频特性，相位关于频率的特性称作相频特性，它在电子技术的应用中具有很重要的意义。
交流电路中的任一无源双口网络，如图3-33所示，其输出电流或电压与输入电流或电压之比称为电路的传递函数，它是一个复数， 它关于频率的函数用H（j?）表示。如输出 ?2?1II ?之比表作： ?与输入电压V电压VH（jω） 12??V1V2H(j?)?V2 （3-34） ?V1。称为转移电压比。 图3-33 双口网络
下面，仅就几种实用的电路进行频率分析。
3.3.1 RC电路的频率特性 C
1． 高通滤波电路
?1R V图3-34所示的RC串联电路，其传递函数为：
VH(j?)?2??V1。?2VRR?j1?C?j?RC 1?j?RC图3-34 RC高通电路 ??RC1?(?RC)2?arctg1 ?RC0.707 A(ω) =A(?)??(?)
?RC其中幅频特性 A(?)? （3-35）
21?(?RC)0 ?2?4ω0 φ(ω) ω
相频特性 ?(?)?arctg1 （3-36）
?RC其特性曲线如图3-35所示，显见频率越高， 其传递能力就越强。
???时，A(?)?1 ?(?)?0 ???1时， A(?)?0.707 ?(?)?
4RC图3-35 高通电路的频率特性 这时V2?0.707V1，实际应用中，将这一频率 视为信号能通过的最低频率。
即 fL?1 （3-37）
2?RC称为下限截止频率。亦即该电路具有使高频信号易通过而抑制低频信号的作用，故称为高通滤波电路。
２．低通滤波电路
与高通电路相反，低频信号易通过而抑制 高频信号的电路称为低通滤波电路。
图3-36的电路便为典型的低通电路。（同 学可以自己推证）
其上限截止频率为：
R ?1VC ?2V1 （3-38） 图3-36 RC低通电路
2?RC３．带通滤波电路
具有上下限两个截止频率，只允许f在?f?fH?fL内的信号通过的电路称为带通滤波电fH?路，如图3-37（a）所示，其等效电路如图（b）所示。
R
?1 ?1VC V
?2R C V
（a）
Z1 Z2 ?2V （b）
图3-37 带通电路及其等效电路图
则 Z1?R?j1?1?j?RC
?Cj?RC其传递函数为：
Z2?R?(?j1)R ?C?11?j?RCR?j?C
RVZ21?j?RCH(j?)?2???Z?Z1?j?RCRV112?j?RC1?j?RC。
?113?j(?RC?)?RC?132?(?RC?12)?RC 1?(?RC)2 （3-39）
?arctg3?RC其中幅频关系
A(?)?132?(?RC?12)?RC （3-40）
21?(?RC)相频关系 ?(?)?arctg （3-41） 3?RC图3-38便为其频率特性曲线，由（3-40）和（3-41）式可知， 当???0?1时： RC1 为最大值 （3-42） 3。。A(ω) A(?)?132??1/3 ?(?)?0 V2与V1同相位 （3-43）
这里 f?f0?1 （3-44） 2?RC1 320 φ(ω) 90° 45° 0 –45° –90° ωL ω0 ωH ω 称为带通电路的中心频率。
由
A(?)?132?(?RC?12)?RC?ωL ω0 ωH ω 可得下限截止频率 fL?0.303f0 图3-38 带通电路的频率特性
上限截止频率 fH?3.303f0
显然 ?f?fH?fL?3f0 （3-45）
?f称为带通滤波电路的通频带宽度。
需要说明的是，该网络还具有选频（单一频率）特性。在电子技术中，用此RC串并联网络可以选出f?f0?1的信号。（实验室常用的低频信号发生器就是由此来选频的。）
2?RC3.3.2 LC谐振电路及其频率特性
前面已经研究过的串并联交流电路中，凡含有电感和电容的电路，如果处于无功功率完全补偿而使电路的cos?=1的状态，便称为电路的谐振状态。这种谐振状态在电子技术中也有着广泛的应用。
１．串联谐振
在LC串联情况下发生的谐振称为串联谐振。如图3-39所示的电路，若XL?XC，则总阻
?同相位，cos?=1，电路发生谐振。 ?与I抗Z=R，V谐振时的频率f0由XL?XC 即 2?f0L?可得： f?01 2?f0C12?LC?IR L C （3-46）
?V由此可见，改变电路参数L、C或改变电源
频率都可满足式（3-46）而出现谐振现象。因此
又把式（3-46）称为谐振条件。 图3-39 RLC串联电路
（1）串联谐振的特点：
① 谐振时电路的阻抗 Z0=R2?(XL?XC)2=R为最小值，呈纯电阻性。 ② 电压一定时，谐振时的电流 I?0VR2?(XL?XC)2?V 为最大值，其随频率变化的R关系如图3-40所示。（XL..XC关于频率的关系也在其中。）
I I0 |Z| XL （R） 0 f0 XC f ?VC?LV?R?V?V?I图3-40 电流、阻抗与频率的关系 图3-41 串联谐振时的相量图
???V?，又称串联谐振为电③ 谐振时电感与电容上的电压大小相等、相位相反。即VLC压谐振。谐振时电路的相量图如3-41所示。
如果谐振时XL?XC＞＞R，则谐振电压VL?VC＞＞V，将使电路出现过压现象，故电力技术中一般不允许工作在此状态。在电子技术的工程应用中，把谐振时的VL或VC与总电压V之比叫做电路的品质因数，用Q表示。 即： Q?VLVC?0L1??? （3-47） VVR?0RCI I0 （2）串联谐振电路的选频性与通频带
电压一定时，电路中的电阻R越小，谐振时
I0Q2>Q1 Q2 Q1 20 fL f0 fH f