的电流I0?V就越大，所得到的I~f曲线就越尖
R锐，如图3-42所示。在电子技术中，常用这种特 性来选择信号或抑制干扰。显然，曲线越尖锐其 选频特性就越强。（但不是越好，为什么？）
通常也用所谓通频带宽度来反映谐振曲线的
尖锐程度，或者选择性优劣，与带通滤波电路中 图3-42 串联谐振的选频性 的定义相类似，与0.707I0对应的两频率fH、
（同学可以自己证明）： fL之间的宽度△f定义为通频带宽度。
?f?fH?fL?f0 （3-48）
Q式（3-48）中Q即电路的品质因数，可见Q值的 大小与选频特性的优劣有着直接的联系。Q值越 大，选频性越强。
串联谐振电路用于频率选择的典型例子便是 收音机的调谐电路（选台），如图3-43所示。其 作用是将由天线接受到的无线电信号，经磁棒感 应到L2C的串联电路中，调节可变电容C的值，
L1 LL L2 C 便可选出f=f0的电台信号，它在C两端的电压 图3-43 收音机的调谐电路 最高，然后经放大电路进行放大，这就是收音机 的调谐过程。
２．并联谐振
LC并联情况下发生的谐振称为并联谐振。电子技术中，实用的并联谐振电路如图3-44所示。
（1） 谐振条件
??VV由KCL： I ??I??I???12?2?1II1R?j?L?j?I?CR R?L? ??=V?j()??C?R2??2L2?R2??2L2???VL C ?与V?同相位，电路为纯电阻性， 谐振时，I所以上式中虚部： 图3-44 并联谐振电路
?L 2 ??C?0 （3-49）R??2L2由此式可得谐振频率为：
?0?11R2 或
f0??22?LCL1R2 （3-50）
?LCL22R在电子技术中，R一般只是电感线圈的内阻，R＜＜?0L，式中项可以忽略， L2
故： ?0?1LC2?LC这就是实用并联谐振电路的谐振频率（或谐振条件）。
（2） 并联谐振的特点 ① 谐振时的电路阻抗
222Z0=R??L 是最大值。
或 f0?1 （3-51）
V |Z| R 由（3-49）式 R2??2L2?L
C0 f0 f 可得： Z0?L （3-52） 图3-45 并联谐振的频率特性
RC其随频率变化的关系如图3-45所示。
② 恒流源供电时，谐振电路的端电压V=IZ0也是最大值，其随频率变化的关系也如图3-45所示。
③ 谐振时电路的相量关系如图3-46所示。
?2I???I?，R＜＜?L时， 可见，I1的无功分量I120?，亦即电路中的谐振量是电 ?≈?I可近似认为I21.??I?V??1?1II流，故又称电流谐振。
这种谐振电路在电子技术中也常作选频使用。
电子音响设施中的中频变压器（中周）便是其典 图3-46 谐振时的相量图 型的应用例子。正弦信号发生器，也是利用此电 路来选择频率的。（电子技术中介绍）
可以推证，此电路的品质因数（R＜＜?0L时 ）
?I2I1I?L1 （3-53） Q???1?0?IIIR?0RC同样，R值越小，Q值越大，其选频特性就越强。
3.3.3 非正弦周期信号的频率分析（谐波分析）
现代工程技术中，非正弦周期信号的应用也相当广泛，特别是在控制技术、测量技术、无线电工程等领域。
数学分析中已经介绍过，任何一个非正弦周期信号，都可以看作多个不同频率的正弦信号的叠加，即所谓傅立叶级数法。因此，分析这类信号的基本方法仍可归结为正弦分析法，只是频率不同而已，所以也归在此章的内容中。
１．非正弦周期信号的分解
电工电子技术中的非正弦周期信号，如矩形波、三角波、锯齿波及整流后的波形等，都能满足数学上的所谓狄里西利条件，故可以将其展开为傅立叶三角级数。
设周期为T的某一非正弦信号（函授）为f（t），则其展开的傅立叶级数表达式：
? f(t)?A0??Akmsi（ nk?t??k）k?1 （3-54）
式中A0为常数，即直流分量。A1msin(?t??1)是与非正弦周期信号同频率（??2?）
T的正弦波，称为基波（或一次谐波）。其后各项的频率是基波频率的整数倍，分别称为二次谐波、三次谐波??，统称高次谐波。这种分解分析的方法叫谐波分析法。
据傅立叶三角级数的收敛性，Akm的大小随频次的升高而减小。实用中，只需考虑直流成分和前几次谐波就够了。亦即其主要成分在低频分量中。
为确定级数中常数A0、Akm和?k，利用三角公式，可将式（3-54）写作：
f(t)?A0??(Bkmsink?t?Ckmcosk?t) （3-55）
k?1?其中 Bkm?Akmcos?k
Ckm?Akmsin?k
22显见： Akm?Bkm ?k?arctgCkm ?CkmBkmA0、Bkm和Ckm可由下面的公式定出：
1A0?TT?f(t)dt0T
BkmCKM2?T?0T0f(t)sink?t （3-56）
2?T?f(t)cosk?tv 例3-11 求矩形波电压（如图3-47所示）的傅立叶级数展开式
解：该周期函数可表作：
Vmt?(0,T)2 v（t）=? ?T?Vt?(,T)?m2Vm 则其傅立叶系数
TTT?211?A0??v(t)dt???Vmdt??Vmdt??0T0T?0?T2??0 –Vm T/2 T t
图3-47 矩形波电压
TBkm2222??v(t)sink?tdt??Vmsink?tdt??Vmsink?tdtT0T0TT2TTv Vm ?42?Vm (k为奇数) ?Vm(?cosk??1)??k?(k为偶数)k???00 T 2T t
即：B2m?B4m?B6m????0 图3-48 锯齿波电压
B1m?4Vm B3m?T?44Vm B5m?Vm ?? 3?5?TTCkm2222??v(t)cosk?tdt??Vmcosk?tdt??Vmcosk?tdt?0 T0T0TT2得其展开式为：v(t）?11 V（sin?t?sin3?t?sin5?t???）m?3511sin2?t?sin3?t???) 2?3?4同理，图3-48所示的锯齿波电压可展开为： v(t)?Vm(?121?sin?t?２．非正弦周期信号的分析与计算
由于非正弦周期信号都可展为一系列不同频率的正弦信号及直流成分的叠
加，所以根据线性电路的叠加原理，电路的分析尽可看作直流电源和一系列不同频率的正弦电源的分别作用之和。
（1） 平均值
非正弦周期信号的平均值就是其直流分量。即：
T?1I0??i(t)dt?T0? （3-57）
?T1V0??v(t)dt??T0?（2） 有效值
据3.1节中的（3-2）式，将展为傅立叶级数的i（t）或v（t）代入（3-2）式，可得非正弦周期性电流或电压的有效值与组成它的各次谐波有效值之间的关系为：
222I?I?I?I????? （3-58）012 ?222V?V0?V1?V2?????式中 I1?I1m2 I2?I2m2 ?? ， V1?V1m2 V2?V2m2 ??
为各次谐波分量的有效值。
（3） 平均功率
TT由平均功率 P?1pdt?1v(t)i(t)dt 的定义式，将展为傅立叶级数的v（t）与i（t）
T?T?00代入，可推证得： P?P0??Pk?V0I0??VkIkcos?k （3-59）
k?1k?1??
例3-12 全波整流的电压波形如图3-49（a）所示，它的傅立叶展开式为
v(t)?222Vm(1?cos2?t?cos4?t?co6s?t??) ?315351??314rads。其中Vm?310V，受其作用的电路如3-49（b）所示，其中L=5H，C=32?F，
R=2k?，求vR(t)及其有效值VR。
解：由傅立叶展开式得：
V0?2?Vm?197V，
??4V??900?132??900V， V??26??900V V2m42322 v Vm
0 L +- +?V2- ?4+V- ?6+V- V0 v C R vR C R vR t T （a） （b） （c）
图3-49 例3-12图
图3-49（c）为其等效电路图。对直流分量来讲，L相当于短路，C相当于开路， 所以：VRo?V0?197V
R//1j2?C。??对二次谐波来说 VR21j2?L?R//j2?CV2?2.242?91.5?V
则 vR2?2.24sin(2?t?91.5?)V
?对四次谐波 VR41。j4?C0.11?V4??90.9?V
12j4?L?j4?CR//（4?t?90.9?）则 vR4?0.11sinV
将上述结果叠加
得：vR(t)?vR0?vR2?vR4???
?197?2.24sin(2?t?91.5?）?0.11sin（4?t?90.9?）???V 有效值：VR?VR0?VR2?VR4??? ?1972?(
2222.242)2?(0.112)2???≈197V
３.4 三相交流电路