?????????2)P,B|?| ?PB?(0,1,????5P,E?????(?1,0,PE1?). ||2????????????????PB?PE210???????cos?PBPE,??????5。 |PB|?PE||5?2
????????10?sin??cos?PB,PE??5
??（Ⅲ）设二面角M?BC?D的平面角为a，平面MBC的法向量为m=（x,y,z）， ??????????????????????),C? 则m?BM?0,m?BC?0 ?BM?(1,0,1B(2, 1????0,2x?y?0 ?x?z? , 不妨设x?1,则m?(1,?2,?1),|m|?6 ???????????? ?AP为平面ABCD的法向量，且AP?(0,0,2).|AP|?2
????????????AP?m?26?????cos?AP,m???????.6 |AP|?|m|26
?sin??
306
解法二：（I）同上；
?AD?AP，E是PD中点，?AE?PE。（Ⅱ）连结BE，
?PA?AB.AD?AB,?AB?面
PAD
?AB?PE
?PE?面ABME
??PBE就是直线PB与平面ABM所成的角。
?PE?2,PB?5,
?sin??PE10?PB5
（Ⅲ）连结AC，取AC的中点N，连结MN，过点N作NH?BC于H,连结MH，
?M是PC的中点，N是AC的中点，?MN//PA且
MN?1PA?12
?MN?面BCD 又?NH?BC ?MH?BC ??MHN就是二面角M?BC?D的平面角，设为?。
在Rt?BMC中，
BC?5,MC?1PC?3,MB?22 MN30?MH6
?MH?
MB?MC6?BC5?sin??30 ?二面角M?BC?D的正弦值为6
4、（2009河东区一模）在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，
?BAD?90?,AD//BC,AB?BC?1,AD?2,PA?底面ABCD，PD与底面成30?角。
（1）若AE?PD，E为垂足，求证：BE?PD； （2）求异面直线AE与CD所成的角的余弦值； （3）求A点到平面PCD的距离。
(1)证明：以A为原点，AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）
A(0,0,0),B(1,0,0)D(0,2,0)P(0,0,则
23)3
????????23AB?PD?(1,0,0)?(0,2,?)?03
????????????????????????又AE?PD?0?AB?PD,AE?PD
????PD?面BEA 所以
BE?面BEA，?PD?BE
（2）解：?PA?面ABCD，PD与底面成30角, ??PDA?30
??sin30?1,?EAF?60 过E作EF?AD，垂足为F，则AE?AD?????131313AF?,EF??E(0,,)AE?(0,,)2222,于是22
????又C(1,1,0),D(0,2,0),CD?(?1,1,0)
??则
????????AE?CD2COS???????????4AECD
2?AE与CD所成角的余弦值为4。
??????????????（3）设V?平面PCD，则V?PD,V?CD
(x,y,z)?(0,2,?即
2323)?0?2y?z?033
(x,y,z)?(?1,1,0)?0??x?y?0
??令y?1则x?y?1,z?3y?3,V?(1,1,3)
A点到平面PCD的距离设为d,则
??????V?DA25d????5V
25即A点到平面PCD的距离设为5。
5、（2009河西区一模）如图：已知长方体正方形，高求证：
ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的
AA1?42PCC1为的中点
的余弦值
BD?A1P求二面角
A1?PD?B解：(I)证明：连结
AC11,AC,?ABCD?A1B1C1D1是长方体，
?A1A?面ABCD
?BD?A1A 又BD?面ABCD，，又ABCD是正
方形，
?BD?AC,AC?A1A?AA1AC，即，
……3分
?BD?面 又
BD?面A1ACC1A1P?面A1ACC1?BD?A1P……6分
（II）如图，以D为原点建系，由题意的D(0,0,0)
A1(4,0,42),B(4,4,0),P(0,4,22)……6分
???????? 于是BD?(?4,?4,0),PD?(0,?4.?22),
?????AD?(?4,0,?42)n? 1，设1面BDP
?x?2???4x?47?0?)得????????4y?42?0n?(x,y,2),????y??2?n1?(2,?2,2) 不妨设1由
……8分
??????4x?82?0??x??22n2?(x,y,2),由?得????n?ADP???4y?42?0??y??2 设2面1，不妨设????n2?(?22,?2,2)
……9分
若
??n1与
???n2的夹角?，则
??????n?n2?4?2?47cos?????1??????14|n1||n2|8?14……11分
7A?PD?BA?PD?B据分析二面角1是锐角，?二面角1的余弦值是14……12分