说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数
fF[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?F(w?w0)
?z?在c内
? 位移性
推论：
各孤立奇点处留数的局部问题。
积分变换复习提纲
一、傅里叶变换的概念 ? ??F[f(t)]???jwt??f(t)edt?F(w)
?
??F?1[F(?)]?1(?)ej?t2????Fd??f(t)二、几个常用函数的傅里叶变换
?
F[e(t)]?1??j?
? F[u(t)]?1j????(?)
? F[?(t)]?1 ?
F[1]?2??(?)
三、傅里叶变换的性质 ? 位
移
性
（
时
域
）：
F[f(t?t?jwt00)]?eF[f(t)]
? 位
移性（频域）：
F[sinw(t)]?10tf2j[F(w?w0)?F(w?w0)]
? 位
移性
推论：
F[cosw0tf(t)]?12[F(w?w0)?F(w?w0)]
? 微分性（时域）：F[f?(t)]?(jw)F(w)
（t???,f(t)?0），
F[f(n)(t)]?(jw)nF(w)，t???,f(n?1)(t)?0
? 微
分
性
（
频
域
）：
F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)nf(t)]?F(n)(w)
? 相似性：
F[f(at)]?1aF(wa)
(a?0 )四、拉普拉斯变换的概念 ?
??L[f(t)]??0f(t)e?stdt?F(s)
五、几个常用函数的拉普拉斯变换
? L[ekt]?1s?k；
?
L[tm]??(m?1)m!sm?1?sm?1(m是自然数)；
（
10
1?(1)?1,?()?2?,?(m?1)?m?(m)1s） 七、卷积及卷积定理 ? ?
f1(t)*f2(t)?? ? ?
L[u(t)]?L[1]?L[?(t)]?1
；
?????f1(?)f2(t??)d?
F[f1(t)?f2(t)]?F1(w)?F2(w) F[f1(t)?f2(t)]?12?F1(w)?F2(w)
L[sinkt]?ks?k22,L[coskt]?ss?k22? ?
?
L[shkt]?ks?k22L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s)
,L[chkt]?ss?k22八、几个积分公式 ? ????? ? 设
L[ftTf(t?T)?f(t)f(t)?(t)dt?f(0)
，。（
则
? ???( ??
0??f(t)?(t?t0)dt?f(t0) f(t)tdt??()ft]dt?Ts?01?e1Tf(t)是以
??)??0L[f(t)]ds???0F(s)ds1
为周期的周期函数） 1 ? ?0域
）：
一.填空题
7??六、拉普拉斯变换的性质 ? 微
分
性
（
时
f(t)e?ktdt?L[f(t)]s?k
模拟试卷一
2L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)
? 微分性（频域）：L([L[(?t)f?t?]?Fn(n))?tft]?F?s????，
?1?i??1. ??1?i?2. I=
? .
?s?
t0? 积分性（时域）：L[?? 积分性（频域）：L[（收敛） ? 位移性
L[eatf?t?dt]?F?s?s
??zc?esinz?dz,其中c为z?a?0的正向zf?t?t]???s,则I= .
F?s?ds3.
（
时
域
e?s?tan1z能否在0?z?R内展成
）：
f?t?]?F?s?a?Lraurent级数？
F?s?? 位移性（频域）：L[f?t???]?（??0,t?0,f(t)?04．其中c为
2z?2的正向：
）
(a?0 )? 相似性：L[f(at)]?
1sF() aa?zcsin1zdz=
11
5. 已知F????二.选择题
sin??，则
f?t??sin6t（k为．求拉氏变换f?t?= 4
实数）
5. 求方程满
1.fz?zRez在何处解析
y?0??y??0??1的解.
(A) 0 (B)1 (C)2 足条件 (D)无 四.证明题
1.利用ez的Taylor展式，证明不等式
sinzdz = z zz22.沿正向圆周的积分. ?e?1?e?1?zez?1 z?2????y???4y??3y?e?t (A)2
?isin1. (B) 0. 2. 若 F??????f?t?? (a为非零常数)
1(C)?isin??1. (D)以上都不对.
???F?? 证明：??f?at???a?a?3．
?n???4?n?z?1?的收敛域为
1?z?1?4n模拟试卷一答案
一.填空题
1. i 2. 0 3.否 4．?1/6
?0.5,t?1?t?1二.选择题 5. f?t???0,??0.25,t?11. (D) 2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题
(A) .
4.
(B)1?z?2?e (C) 1?z?1?2. (D)无法确定
4. 设z=a是f?z?的m级极点,则
f??z?f?z?在点z=a的留数是 . (A) m. (B) -2m. (C) -m.
2．函数f?z?g?z?在z=a处极点为(D) 以上都不对.
三.计算题 m+n级
3．
??fz?u?iv1.为解析函数，?1. u?3xy?y?c
23u?v?x?3xy?3xy，求u
322?y3f?z??1z2??n?1n?z?1?n?1R?1
2．设函数f?z?与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数
64． 5.
f?z?g?z?.在z=a处
s?3634e?3t2
极点如何？
3．求下列函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。 f?z??
y?t???一.填空题
12
?74e?t?12te?t.
1z2模拟试卷二
,z0??1
1. C为z?1正向，则?czdz= 2.
4. 沿正向圆周的积分?sinzz?2f?z??my3?nxy?ix?lxy2?32????z???2??2dz
为解析函数，则l, m, n分别
为 .
?shz?Res ,0?3.?z2?
???= (A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对. 三.计算题
1. 求sin(3+4i).
4. 级数?n?1?z?2?n2n2．计算?其中a、b???z?az?b.收敛半径为 c
?dz,为不在简单闭曲线c上的复常数，a?b.
5. ?-函数的筛选性质是 z?1二.选择题 ??fz?,z0?1在指定3．求函数
z?1?t1． ft?eut?1，则点z0处的Taylor级数及其收敛半径。
???????f?t???e?
??s?1?4．求拉氏变换
??s?1?f?t??ekt（k为实数）
e (B)
四.证明题
1.
? (A) .
s?1??s?1?s?1e(C)2
?Cn?0?n收敛，而?Cn发散，证明
n?0s?1 (D) 以上都不对
?2．??
?f?t???F???F????，则
?Cn?0z收敛半径为1 nn??t(A)
?2?f?t???
??2F??2.若?
?f?t???F?s?，(a为正常
1 .
(B)?F?????2F???.
(C) iF???以上都不对 3．C为
??2F???. (D)
dzz3?s??f?at???F??
数)证明：?
a?a?模拟试卷二答案
一.填空题
z?3的正向，?c?z10?2?2?i. 1.
???? 2.
(A) .1 (B)2 (C)0
(D) 以上都不对
5.
l?n??3,m?1 3.1 4. 1
???t?f?t?dt?f?0?-
二.选择题
13
(A)
三.计算题
1． (B) 2．(C) 3． (C) 4.
e1.
?4?3i?e2idz4?3i1. 设u和v都是调和函数,如果v是u的共
轭调和函数，那么v的共轭调和函数为 .
(A) u. (B)-u. (C)2u (D)以上都不对。
?
2．级数
2．当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时
?n?1einn . ???z?a??z?b?c?0,
(A) . 发散. (B)条件收敛
(C)绝对收敛 (D)无法确定 3．C
z当a在c之内, b在c之外时
???z?a??z?b?cdz?2?ia?b?2?ia?b为
z?2的正向, 则
,
当b在c之内, a在c之外时
??zcedz2?z192?9?? . ???z?a??z?b?cdz?,
(A) .1 (B)2 ．
(C)2?i4
．
(D) 以上都不对 ?
3
f?z??z?1z?1?????1?n?0n?z?1????2?n?1R?2?f?t????i?F???，则
.
??f?1?t??? . (A) F???e (B) F????e?i?14．
s?k
模拟试卷三
(C) F???e三.计算题 1.
z2i? (D) 以上都不对 计
算
一.填空题 1． z=0为级零点,
f?z??z2?e?1?f?z???的 z?1dzz?2,从而证明??01?2c5?4c??d?? 1??,0 . 2．求在指定圆环域内的Laurent级数 2. Res?23??z?z? 3. a,b,c均为复数，问?a?bc与abc一
f?z??z?1z2,z?1?1定相等吗？ .
4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能3．利用留数计算定积分: 有奇点吗？ 2?d?dz?02?cos?．
5. c= . .
?cosz二.选择题
14
4．求拉氏变换f?t??te（k为实数）.
kt