??4a??2
?a?12，b??4a??2
∴抛物线的解析式为y? ②当a?0时， 同理可得：OD?22 抛物线的解析式为y??12x2?2x
12x2?2x
12x?2x或y??43∠OBA
2 综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为y?12x?2x
2 （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA? 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点P在抛物线y?12x?2x上时（如图2）
2
∵点B是⊙D的优弧上的一点 ?∠OBA? ?∠POA?1243∠ADO?45? ∠OBA?60?
过点P作PE⊥x轴于点E
?tan∠POE?EPOE ?yx?tan60?3x
?y??y?3x??x1?4?23?x2?0?，? 由?解得：（舍去） ?12y?0??y?x?2x?y1?6?43?22? ∴点P的坐标为4?23，6?43 ②当点P在抛物线y??12x?2x上时（如图3）
2??
同理可得，y?3x
?y?3x??x2?0?x1?4?23? 由?解得：（舍去） ，??12y?0??y??x?2x?y1??6?43?22? ∴点P的坐标为4?23，?6?43 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 4?23，6?43或4?23，?6?43
??????
13.在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。 （1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交 y 于点C，点O到直线AB的距离为
123，sin?ABC?，求直线AC的解析式； 55 B O1 O A x C （2）若⊙O1经过点M（2，2），设?BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。
[解] （1）如图1，过O作OG??B于G，
则OG?125
35 设OA?3k(k?0),??AOB?90?,sin?ABC? ?AB?5k，OB?4k
?OA?OB?AB?OG?2S?AOB,?3k?4k?5? ?OA?3，OB?4，AB?5 ?A（3，0）
??AOB?90?,?AB是⊙O1的直径
?AC切⊙O1于A，?BA?AC,??BAC?90? 在Rt?ABC中
125,?k?1
?cos?ABC?ABBC?9445,?BC?254
?OC?BC?OB?94 ?C(0，?)
设直线AC的解析式为y?kx?b，则
?3k?b?0? ? 9?b??4??k?34，b??94
?直线AC的解析式为y?34x?94
（2）结论：d?AB的值不会发生变化
设?AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示
y B M O1 Q T P O A N x
图2
?BQ?BT，AP?AT，OQ?OP?d2d2 ?BQ?BT?OB?d2,AP?AT?OA?d2?OA?d2
?AB?BT?AT?OB??OA?OB?d 则d?AB?d?OA?OB?d?OA?OB
在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN ?M(2,2),?OM平分?AOB,?OM?22
??BOM??MON?45?,?AM?BM又??MAN??OBM,OB?AN
,??BOM??ANM?45?,?ANM??MON ??BOM??ANM ?OM?NM,?OMN?90?
?OA?OB?OA?AN?ON?OM2?MN2?2?OM?2?22?4
?d?AB的值不会发生变化，其值为4。
k
14.已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP
x
于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝n41＋. 4
（1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值；
n
(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.
2
4
[解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m
5
(1) 当n＝1时， s＝
42s5
∴ a＝＝
n2
(2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 a
∴ m＝n＝
2n41
∴ 1＋＝·an
42即n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2
解2：∵ OP＝AP PA⊥OP
∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n
设△OPQ的面积为s1 s
则：s1＝
2
11n4∴ ·mn＝(1＋) 224即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2
(3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA
∴ △OPQ∽△OAP 设：△OPQ的面积为s1，则 s1PO＝2 sAO
2
1kkn2＋22n
即： 4 ＝
nn421＋4 (1＋)
44
2 n化简得：2n＋2k－k n－4k＝0
（k－2）（2k－n4）＝0 n
∴k＝2或k＝(舍去)
2
∴当n是小于20的整数时，k＝2. k
∵ OP＝n＋m＝n＋2n
2
2
2
2
2
44
2
4
2
又m＞0，k＝2，
∴ n是大于0且小于20的整数 当n＝1时，OP2＝5 当n＝2时，OP2＝5
4485
当n＝3时，OP2＝32＋2＝9＋＝
399当n是大于3且小于20的整数时，
即当n＝4、5、6、…、19时，OP得值分别是： 44442222
4＋2、5＋2、6＋2、…、19＋2 4561944422
2＞18＋2＞…＞3＋2＞5 19183
∴ OP2的最小值是5. ∵19＋
2
2
k2
解2： ∵ OP＝n＋m＝n＋2 n
2
2
2
2
2
＝n＋2
n
2
2
2
＝(n－)2 ＋4
n2
当n＝ 时，即当n＝2时，OP2最小；
n
又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5 ∴ OP2的最小值是5. 解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ
PQOQ
＝ QAPQ
nm
＝ a－mn
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0
（k－2）（2k－n4）＝0