n
∴k＝2或k＝(舍去)
2解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ s1OQ2
＝ s－s1PQ2化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0
（k－2）（2k－n）＝0 n
∴k＝2或k＝(舍去)
2解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP ∴
OPOQ＝ OAOP
4
4
4
∴ OP2＝OQ·OA
化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0
（k－2）（2k－n）＝0 n4
∴k＝2或k＝(舍去)
2
15.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。
（3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。
（4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也
y 分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。
4
[解] （1）∵O、C两点的坐标分别为O?0,0?，
C?8,6?
Q 设OC的解析式为y?kx?b，将两点坐标代入得： k?34C（8，6） B（18，6） O P 34x
A（18，0） x ，b?0，∴y? ∵A，O是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为y?a?x?0??x?18?
再将C?8,6?代入得：a??∴y??340x?2340
2720x
（2）D?10,6?
3??3??2（3）当Q在OC上运动时，可设Q?m,m?，依题意有：m2??m???2t?
4??4??2∴m?8?86t，∴Q?t,5?55?t?，?0?t?5? ?当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t，∵OC＝10，∴CQ＝2t?10 ∴Q点的横坐标为2t?10?8?2t?2，∴Q?2t?2,6?，?5?t?10?
（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为
?22?t?
35,S?OPQ?12t?22?t??1235△OPQ中，OP边上的高为：?22?t??梯形OABC的面积＝
12
35?84?12?18?10??6?84，依题意有：t?22?t??
整理得：t2?22t?140?0 ∵△＝222?4?140?0，∴这样的t不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为22?t，∴CQ的长为：22?t?10?12?t ∴梯形OCQP的面积＝
12?6?22?t?10?t?＝36≠84×
12
∴这样的t值不存在
综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积 16.已知：如图，抛物线y?13x?2233x?m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
∠ACB＝90°，
（1）求m的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
?（3）在（2）条件下，设P为CBD上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，
问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.
[解] （1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），
且m＜0.
设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m A y D M · F B E G x O C 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB ∴?x1?m2
OAOC?OCOB
∴??mx2，即x1·x2＝－m
2
∴－m＝3m，解得 m＝0 或m＝－3
而m＜0，故只能取m＝－3 这时，y?13x?2233x?3?13(x?3)?4
2故抛物线的顶点坐标为（3，－4）
（2）解法一：由已知可得：M（3，0），A（－3，0），B（33，0）， C（0,－3），D（0， 3）
∵抛物线的对称轴是x＝3，也是⊙M的对称轴，连结CE ∵DE是⊙M的直径，
∴∠DCE＝90°，∴直线x＝3，垂直平分CE， ∴E点的坐标为（23，－3）
OAOCOMOD33∵??，∠AOC＝∠DOM＝90°，
∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE， ∴FG∥CB
由B（33，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：
33y＝x－3
可设直线FG的解析式为y＝
33x＋n，把（23，－3）代入求得n＝－5
故直线FG的解析式为y＝
33x－5
解法二：令y＝0，解
13x?2233x－3＝0得
x1＝－3，x2＝33
即A（－3，0），B（33，0）
根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为23， M（3，0） 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝33，，OC＝3 ∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ∵DE⊥FG， ∴BC∥FG ∴∠EFM＝∠CBO＝30°
在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝23，∠FEM＝30°， ∴MF＝43，∴OF＝OM＋MF＝53， ∴F点的坐标为（53，0）
33在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝53×∴G点的坐标为（0，－5） ∴直线 FG的解析式为y＝
33x－5
＝5
（3）解法一：
存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 连结CP
??由垂径定理可知AD?AC， ∴∠P＝∠ACH （或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO） 又∵∠CAH＝∠PAC， ∴△ACH∽△APC ∴
ACAH?APAC 即AC2＝AH·AP
在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（3）2＋32＝12 （或利用AC2＝AO·AB＝3×43＝12 ∴AH·AP＝12
解法二：
存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 设AH＝x，AP＝y 由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即(3?x?3)(3?2y D H A O C G M · P F B E x x?3)?x(y?x)
化简得：xy＝12 即 AH·AP＝12