2011~2012学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料
第3讲 函数基本性质
一．【课标要求】
1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；
2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；
二．【命题走向】
从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索
预测2010年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值
预测明年的对本讲的考察是：
（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；
（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点
三．【要点精讲】
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：
1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○
2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任○
意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○
2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○
3 作出相应结论： ○
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数 （3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
注意：
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1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 （2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 （3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集： ①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数； ②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 1 任取x1，x2∈D，且x1 2 作差f(x1)－f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○。 （5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数f(x)?增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?增函数g(x)是减函数。 3．最值 （1）定义： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。 注意： 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○ 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)○ ≤M（f(x)≥M）。 （2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○ 2 利用图象求函数的最大（小）值； ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○ 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 第 2 页 共 13 页 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 4．周期性 （1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数； （2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作f(x?TT)?f(x?),若f(x)的周期中，存在一个最小的22正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为 T|?| 四．【典例解析】 题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性： xx(1)f(x)?16?1?2;2x?1n(x?1?x)(x?0)?(2)f(x)??0(x?0); ?1n(1?x??x)(x?0)?(3)f(x)?1og2(1?x2?x2?1?1);a2?x2(4)f(x)?(常数a?0); |x?a|?a解：（1）函数定义域为R， 16?x?1?2?x11?16x16x?1?2xxx f(?x)? ?2?1?1?2??1??f(x)，?xxxx21642∴f(x)为偶函数； 16x?1（另解）先化简：f(x)??1?4x?4?x?1，显然f(x)为偶函数；从这可x4以看出，化简后再解决要容易得多。 （2）须要分两段讨论： ①设 x?0,??x?0,?f(?x)?1n(1?x?x)?1n②设 x?0,??x?0, 1?f(?x)?1n(?x?1??x)?1n??1n(1?x??x)??f(x)1?x??x③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)； 1??1n(x?1?x)??f(x);x?1?x第 3 页 共 13 页 由①、②、③知，对x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)为奇函数； 2??1?x?0?x2?1，∴函数的定义域为x??1， （3）??2??x?1?0∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点 A（－1，0）与B（1，0）组成，这两 点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数； （4）∵x2≤a2, ∴要分a >0与a <0两类讨论， ①当a >0时，???a?x?a?函数的定义域为[(?a,0)?(0,a)], ?|x?a|?aa2?x2，∴当a >0时，f(x)为奇函数； x ?|x?a|?0,?f(x)? a2?x2aa?|x?a|?0,?f(x)?,取定义域内关于原称点的对两点x1?,x2??,?x?2a22 ?f()?f(?)?a2a233??0,?当a?0时,f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. 53点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定 义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变） 例2．(2007年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数f(x)?|x?ax?b|(x?R,b?0)，给出以下三个条件: (1) 存在x0?R，使得f(?x0)?f(x0)； (2) f(3)?f(0)成立； (3) f(x)在区间[?a,??)上是增函数. 若f(x)同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则f(x)的一个可能的解析式为f(x)? . 22答案 满足条件(1)(2)时,y?x?3x?1等；满足条件(1)(3)时,y?x?2x?1等；2满足条件(2)(3)时,y?x?3x?9等 2题型二：奇偶性的应用 例3．山东省潍坊市2008年高三教学质量检测 第 4 页 共 13 页 3x2?c已知函数f(x)?为奇函数，f(1)?f(3)，且不等式0?f(x)?的解集是 2ax?b[?2,?1]∪[2,4] （1）求a,b,c。 3 （2）是否存在实数m使不等式f(?2?sin?)?m2?对一切??R成立？若存在，求出 2m的取值范围；若不存在，请说明理由。 x2?c解：（1）∵f(x)? 为奇函数，ax?b ∴ x)2? c x2 ?c ??1分 (???,解得b?0. a(?x)?bax?b ∵ 3的解集中包含2和－2, 0?f(x)?f(2)?02∴ f(?2)＝?f(2)?0 22?c即得f(2)?0?,所以c＝?4 ??2分 2a3535 ∵f(1)?f(3)，f(1)??,f(3)??, ∴??，所以a?0. ??3分 a3aa3ax2?4 下证：当a>0时，在(0,+∞)上f(x)?是增函数 ax 在(0,+∞)内任取x1，x2，且x1 f(x)?f(x)?x1?4?x2?4?1(x?x)(1?4)?0 1212aax1aax2ax1x2x2?4 即f(x1)?f(x2),?当a?0时，在（0,??）上f(x)?是增函数 ?5分 ax234?4 所以，f (2)＝0，f(4)??，解得a?2.24ax2?4 综上所述：a?2,b?0,c??4,f(x)? ??6分 2xx2?4（2）∵f(x)? 为奇函数，2xx2?4 ∴f(x)?在(－∞,0)上也是增函数。 ?7分 2x333 又?3??2?sin???1, ∴f(?3)?f(?2?sin?)?f(?1)?, 而m2??, 2223所以，m为任意实数时，不等式f(?2?sin?)?m2?对一切??R成立 ??12分 2 点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式 题型三：判断证明函数的单调性 例5．（2008上海文，19） （本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数f(x)?2?x1． |x|2（1）若f(x)?2，求x的值； 第 5 页 共 13 页