（2）若2tf(2t)?mf(t)≥0对于t?[1，2]恒成立，求实数m的取值范围． 【解】（1）当x?0时，f?x??0;当x?0时,f?x??2x?
由条件可知，2x?1. …………….2分 x21x2xx2?1?2.…………6分 解得 ?2,即2?2?2?1?0,2x∵ 2x?0,?x?log21?2 …………..8分
??
1?1???（2）当t?[1,2]时,2t?22t?2t??m?2t?t??0, ……………10分
2?2???即 m22t?1??24t?1.
?????22t?1?0,?m??22t?1?. ………………13分 ?t?[1,2],???1?22t??[?17,?5],
故m的取值范围是[?5,??) …………….16分
点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁 例6．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。
解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决 在R上任取x1、x2，设x1 1，f(x)F(x2)?F(x1)?[f(x2)? 11]?[f(x1)?]f(x2)f(x1)1?[f(x2)?f(x1)][1?],f(x1)f(x2)∵f(x)是R上的增函数，且f(10)=1， ∴当x<10时0< f(x)<1, 而当x>10时f(x)>1; ① 若x1 1<0, f(x1)f(x2)∴F (x2)< F(x1)； ②若x2 >x1>5，则f(x2)>f(x1)>1 , ∴f(x1)f(x2)>1, 1∴1?>0, f(x1)f(x2)第 6 页 共 13 页 ∴ F(x2)> F (x1)； 综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数 点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点 题型四：函数的单调区间 例7．(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ). A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11) 答案 D 解析 因为f(x)满足f(x?4)??f(x),所以f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数, 则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因为f(x)在R上是奇函数， f(0)?0,得f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得 f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D. 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. 例8．（1）求函数y?log0.7(x2?3x?2)的单调区间； （2）已知f(x)?8?2x?x,若g(x)?f(2?x)试确定g(x)的单调区间和单调性。 解：（1）函数的定义域为(??,1)?(2,??)， 分解基本函数为y?log0.7t、t?x?3x?2 显然y?log0.7t在(0,??)上是单调递减的，而t?x?3x?2在(??,1),(2,??)上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则： 所以函数y?log0.7(x?3x?2)在(??,1),(2,??)上分别单调递增、单调递减。 （2）解法一：函数的定义域为R， 2分解基本函数为g?f(t)??t?2x?8和t?2?t。 222222第 7 页 共 13 页 显然g?f(t)??t2?2x?8在(1,??)上是单调递减的，(??,1)上单调递增； 而t?2?x2在(??,0),(0,??)上分别是单调递增和单调递减的。且 2?x2?1?x??1， 根据复合函数的单调性的规则： 所以函数的单调增区间为(??,?1),(0,1)；单调减区间为(1,??),(?1,0)。 解法二：g(x)?8?2(2?x2)?(2?x2)2??x?2x?8， 42g?(x)??4x3?4x， 令 g?(x)?0，得x??1或0?x?1， 令 g?(x)?0，x?1或?1?x?0 ∴单调增区间为(??,?1),(0,1)；单调减区间为(1,??),(?1,0)。 点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。 题型五：单调性的应用 例9．已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。 又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。 ∴不等式可化为 log2(x2+5x+4)≥2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤ 1得 4 ④ ?5?10?5?10≤x＜－4或－1＜x≤ 22由③④得原不等式的解集为 {x|x≤－5或 ?5?10?5?10≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0}。 22例10．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，+∞］上是增函数， ∴f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)， 即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0。 ?2］都成立？若存在，求出符合条 第 8 页 共 13 页 设t=cosθ,则问题等价地转化为函数 m2m2g(t)?=t－mt+2m－2=(t－)－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数 422 g(t)在［0，1］上的最小值为正 m<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0?m>1与m<0不符； 2m2m当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>0?4－22 42∴当 ∴4－22 当 m>1,即m>2时，g(1)=m－1>0?m>1。 2∴m>2 综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－22。 另法(仅限当m能够解出的情况)： cos2θ－mcosθ+2m－2>0对于θ∈［0,等价于m>(2－cos2θ)/(2－cosθ) 对于θ∈［0,∵当θ∈［0, ?2］恒成立， ?2］恒成立 ?2］时，(2－cos2θ)/(2－cosθ) ≤4－22，∴m>4－22。 点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题 题型六：最值问题 例11．（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设a为实数，函数(1)若(2)求 f(x)?2x2?(x?a)|x?a|. f(0)?1，求a的取值范围； f(x)的最小值； (不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的f(x),x?(a,??)，直接写出．．．． (3)设函数h(x)?解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分 （1）若 f(0)?1，则?a|a|?1??2?a?0?a?122?a??1 2?f(a),a?0?2a,a?0?? ??a??2a2f(),a?0?,a?0??3?3（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min第 9 页 共 13 页 当x?a时，f(x)?x?2ax?a,f(x)min22??2a2,a?0?f(?a),a?0?????2 f(a),a?0???2a,a?0 综上f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??322（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x?2ax?a?1?0， ??4a2?12(a2?1)?12?8a2 当a??66时，??0,x?(a,??)； 或a?22?a?3?2a2a?3?2a266(x?)(x?)?0 当?时，△>0,得：??a??3322??x?a讨论得：当a?(26,)时，解集为(a,??); 22a?3?2a2a?3?2a262当a?(?,?)时，解集为(a,]?[,??); 2233a?3?2a222当a?[?,]时，解集为[,??). 223 例12．设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+ 1)。 m?1(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M； (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值； (3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。 (1)证明：先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+ 当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+ 1］, m?11>0恒成立， m?11>0。 m?11)＜0，解得m>1，故m∈M。 m?11(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+， m?1∵y=log3u是增函数， ∴当u最小时，f(x)最小。 第 10 页 共 13 页