实验二 数学模型
一、实验目的
掌握数学模型及其构建方法
二、实验内容
构建一个数学模型
三、方案设计与要求
1、参考本实验后附材料或教学演示，确定用于建模的决策问题。 2、明确变量和逻辑关系，必要时用假设简化问题，设定变量符号。
3、借用基本数学形式表达变量间的关系，需要时筛选变量，形成初步的模型形式。在无法进行严格的数学推导时, 可以使用“不严格”的数学形式。理解模型的语义含义和功能。
4、尽量使用实际资料检验数学结果，并用恰当的学科语言表达数学结果。 5、确定最终的模型。
四、实验结果（结论）
1．应用建模流程图
1)建模准备（实际问题）：要了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征，情况明才能方法对。
(2)建模假设：根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化并且用精确的语言作出假设，是建模过程关键的一步。
(3)模型建立：在建模假设的基础上，利用恰当的数学工具构造出刻画实际问题的数学模型。（数学工具越简
单越好）
(4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
(5)模型分析：对模型求解的结果进行数学上的分析。 (6)模型检验：将结果与实际比较，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，看它是否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条件，重新建模，循环
往复，不断完善，直到获得满意结果。
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(7)模型应用：一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。
2．建模过程
（1）实际问题：寻找合适的网络节点 有4个通讯站A，B，C，D，它们在平面直角坐标系中的坐标依次为(0,0), (1,4), (2,1), (4,3)。试用通讯网络线将它们连接起来，使线路总长L最少，这里网络线只能与x轴平行或垂直。L最少值是多少？为什么？一般情形如何连接？若通讯站个数为5或6结论如何？
（2）抽象化简假设
对于坐标系的任意两点,最短路线的网络节点求法:
1).从水平方向看,即把所有点都投影到X轴上,只要节点的投影在两点的投影中间即可
2).从垂直方向看,即把所有点都投影到Y轴上,只要节点的投影在两点的投影中间即可
可见节点是不唯一的,对应的路线图也不唯一.为了求解的简化,期间所求的网络节点的横/纵坐标分别为各点的横/纵坐标的平均值,即: X=(x1+x2)/2 Y=(y1+y2)/2
（3）参数变量
参与这个问题的因素有横坐标和纵坐标。
（4）组建模型
同理类推,对于多点的网络,也只要求出其网络节点即可,即: X=(x1+x2+...+xn)/n Y=(y1+y2+...+yn)/n
（5）参数估计
此题中X=(0+1+2+4)/4=1.75≈2(四舍五入取整) Y=(0+4+1+3)/4=2 （6）运行检验
通过计算所有可能节点的总距离L,验证得该结论正确。 （7）判定符合性（结论）
大致符合实际情况，只因为实际工程中可能产生废料的情况使结果比实际值偏小。 （8）实际应用
应充分考虑工程可能产生的废料，防止实际误差偏大。
五、实验体会（收获）
1．数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。
2．通过这次实验，我对数学建模有了初步的认识，开始逐步学会利用数学模型和数学思维解决实际问题。
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实验三 模型的人工求解
一、实验目的
掌握模型的传统解法
了解管理中所使用的模型及在决策中的应用
二、实验内容
模型的人工求解 实际问题的决策
三、方案设计（实验步骤）
选择一个管理决策问题。可选择本实验后附参考资料第二部分中的物资运输决策、本实验后附参考资料第一部分中的[例1]、前面试验涉及的决策问题，也可任选。
必要时自行建模。
先给出某个具体问题实例，然后人工求解模型。 进行决策。
总结
四、实验结果（结论）
1．决策问题
下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本: 维生素A(单位/千克) 维生素B(单位/千克) 成本(元/千克) 甲 400 800 7 乙 600 200 6 丙 400 400 5 营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?
2．建立模型 （1）、实际问题 （2）、抽象化简假设 ○1、假设产品的售价稳定，不随市场产生变化； （3）、参数变量
设所购甲、乙两种食物分别为x千克、y千克,则丙种食物为(10?x?y)千克，成本为z
（4）、组建模型
x、y应满足线性条件为
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?400x?600y?400(10?x?y)?4400?y?2???800x?200y?400(10?x?y)?4800 ,化简得?2x?y?4
3．模型详细求解步骤
作出可行域如上图中阴影部分
目标函数为z=7x+6y+5(10?x?y)=2x+y+50,令m=2x+y,作直线l:2x+y=0,则直线2x+y=m经过可行域中A(3,2)时,m最小,即mmin=2?3+2=8，∴zmin=mmin+50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.
?y?2?指出:本题可以不用图解法来解,比如,由?2x?y?4得
z=2x+y+50=(2x?y)+2y+50?4+2?2+50=58,当且仅当y=2,x=3时取等号
五、体会（收获）
线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
通过本实验，我掌握了传统统计手段在建模中的重要应用。对决策概念有了更深的理解。
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