图23 离散的二次四面体与六面体数值分析结果
4 四面体单元求解薄壳结构质量分析
现在我们讨论二次四面体单元在求解薄壳结构机械行为时的质量。我们通过板的一阶模态分析比较数值分析结果与解析法结果来研究板的刚度变化。
在壳单元问题中，由于一些原因，壳单元被广泛应用于有限元分析中，而不是经典的基于位移理论的固体单元。
由于集合模型使用壳单元首先的做出中面，然而，现在大多数的CAD模型都是3D模型，使用者必须通过3D模型先做出中面，对于一些很复杂的集合模型而言，做出中面几乎不可能，通常的解决之道是用二次四面体单元划分那些薄板形3D集合体。
由于有些薄壳结构刚度很大，求解时务必注意一些会出现的警告，，如果单元尺寸相较于结构厚度并不收敛，可能会出现病态矩阵导致求解失效。
本文中，我们通过使用四次四面体做模态分析比较简支型板的刚度，通过将求解的前四阶频率与解析法得到的结果比较，不同的长度/厚度比值情况都做了分析，目的是找到能将求解误差控制在2%以内的单元边长值。
根据结果，我们提取出了一个变量并在其基础上总结出了一个公式，
单元尺寸=变量因子*板结构厚度
图24 表1 变量因子表
结论
十年前，由于软硬件的限制，有限元模型只能解决100000个自由度一下的，
工程师只能通过简化模型来降低自由度数。但有以下几个问题。
（1）：简化过程耗时
（2）：如果分析后设计改变，简化过程就得重来
（3）：通常简化模型并不能准确反映应力分布情况，有些额外的模型是需要
的。
（4）：只有有经验的有限元分析工程师能做分析
图25 复杂几何模型示例
如果使用六面体单元或者壳单元，做出如图25所示那样好的有限元模型至少需要数周。
但在现在，3D的实体集合模型可以得到很好的划分，一个模型动辄两三百万
自由度是很常见的，如今求解这样的有限元模型都没有问题，模态分析已经能求到六阶。这些工作都可以在windows XP平台3G内存下得到很好的解决
在这片文章中，我们看到二次四面体单元可以得到很好的应用，前提是单元边
界和尺寸设定好，我们给出了如下几点建议
（1）：不要用线性四面体单元，它们刚性太强 （2）：二次四面体的那元要大量使用
（3）：二次六面体对拐角问题很敏感在弯曲问题中要考虑变形修正 （4）：二次六面体非常好用，但计算量太大
（5）：For thin-walled structure the limit element edge/thickness ratio to use
tetrahedra is about 2000.
我们的所有结论与建议可以通过图26反映出来
图26 固体单元质量示意
参考文献
[1] ANSYS Theory Reference, Release 6.1, Swanson Analysis Systems, Inc., 2001 [2] Johnson, K.L., Contact mechanics, Cambridge university press
[3] A comparison of all-Hexahedra and all Tetrahedral Finite Element Meshes for elastic &
elastoplatic analysis. Proceedings 4th International Meshing Round table Sandia National
Labs, pp 179-181, Oct. 1995