2007—2008学年度《高等数学》（2）期末考试复习大纲
一．函数的定义域、极限和连续（连续的定义）；
1．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：
(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；
(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件． 答（D） 2．证明极限limx2yx?04y?0x?y3不存在．
2[证明]：取不同的直线路径y=kx limxkxx?0?kx?0x4?k3x3?1k2 沿不同的路径极限不同，故由定义
y二重极限不存在．
二．直线与平面的位置关系，空间曲线的切线，空间曲面的切平面； 1．在椭圆抛物面z?x2?2y2上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线
?2x?y?0? ?y?3z?0解：切平面法向量：n={2x,4y，－1}直线方向向量：s={3,-6,2} n//s， 所求切点：（-3/4,3/4,27/16） 2． 求曲线x?tt = 1 时1 x = 1/2 , y = 2 , z = 1
?t,y?1?t2t,z?t在t = 1处的切线及法平面方程．
解：dx?1dzdtt?1?1?t?2?1,dy??1dtt?1?2
t?14dtt?1t2??1,?2tt?1t?1切线方程：
x?12?y?214?1?z?12
法平面方程：1??x?1?42???y?2??2?z?1??0
3． 求曲面x 2
?－ 2 y ?2 +2 z 2 = 1上过点（1,1,1）的切平面方程． 解：F= x 2 －2 y 2 +2 z 2 – 1 Fx=2x Fy=－4y Fz=4z 切平面方程为：2（x – 1）－4 ( y - 1) + 4 (z - 1) = 0 4．求曲面x2+4y-z2+5=0 垂直于直线x?1?1解：设F(x,y,z)=x2
+4y-z2
+5 2?y2?z的切平面方程．
Fx=2x, Fy=4, Fz=-2z
2x2?42??2z1解得切点：x0=2 y0=-2 z0=-1
切平面 2x+2y+z+1=0
5．求曲面2y3?2xyz?yz2?2在点(?2,1,?4)处的切平面和法线方程 ． 对应的切平面法向量
? n ???8,6,4???2?4,?3,?2? 切平面方程 4(x?2)?3(y?1)?2(z?4)?0 或4x?3y?2z?3?0 法线方程
x?24?y?1?3?z?4?2
??6．求正数?，使曲面xyz与椭球面
xa22?yb22?zc22?1在某点有相同的切平面，并写出切
点的坐标(a?0,b?0,c?0)． 解：设在点(x0,y0,z0)处相切 则
ay0z0x022?20bx0z0y022?cx0y0z0202?t
22即 a??xt,b??yt,由此 3??t
及 a2b2c2?3?x02y02z02t3??2t3 ?2?abc27222c??z0t5
?27?
，故
??abc33
相应点是
?abc??,,???,33??3?abc???,,????,333???abc? ??,?,???333???abc? ?,?,????33??3
三．方向导数、复合函数求导（高阶）、隐函数求导和全微分 1． 点．
解：Gradu={2x,2y,4z} ;方向导数为：
?2,2,4?????1?1?1??8,,??33?3?3求函数u?x?y?2z222在点P0(1,1,1)处沿P0O方向的方向导数，其中O为坐标原
??4,?3?方向的方向导数．
2．求函数u?x?y22在（1，1）点沿??u114解：??2,?2???4,?3???l(1,1)55
3． 求u?xy?z3?xyz在点P（1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○角的方向上的方向导数． 解：
?u?z?1,2,3???u?x?1,2,3???y?yz??1,2,3???4,2?u?y?1,2,3???x?xz??1,2,3???2
?3z?xy????1,2,3??25
?2224．函数z?z(x,y)由方程F(x?yz,y?xz)?1所确定，其中F-4cos30-2cos45?25cos60??4?3?2?2?25?1?12.5?23?2
具有一阶连续偏导数，求dz．
解：dz?zxdx?zydy其中zx??F1?1?F2?zF1?y?F2?xzy??F1?z?F2?1F1?y?F2?x5．设z=(1+xy)x ,求dz 解：
dz??z?xdx??z?ydy,先求?z?x令lnz?xln(1?xy)
xy?x???1?xy??ln?1?xy????x1?xy???z
?z?y?x?1?xy?2x?1
?2x?1dx?x(1?xy)dy??6．求函数 u=exyz 在点P0(1,0,-1)沿P0P1方向的方向导数．其中P1的坐标为(2,1,-1)． 解：
因l??P0P1??2?1,1?0,?1?(?1)??{1,1,0}
故cos??gradup0xx?故dz?(1?xy)?ln(1?xy)?1?xy?
12,cos??xyz12,cos??0
xyz?yze?,xzexyz,xye?p0??0,?1,0?
方向导数?u?lp012?1???0,?1,0???,,0???22??2
?x?0 设u=f 7．(x,y,z),而?(x2，ey，z)=0，y=simx 其中f , 且???具有一阶连续偏导数，求du． 解： 由已知
?12x??2ecosx??3??ydx?dzdx?0
??y??12x??2e.cosx??dx?dz3
?z?z,?x?ydu???dz?f1?f2cosx?f3dxdx =
??y??2x??e.cosx12???f1?f2cosx?f3??38．设z=z(x , y)由z?x??e?t解：
0xy2dt确定，求．
z??z?x?xy02e2?t2dt?x
?z?y?e?xy22?e?xyy?1x
9．求函数u??x?t?2222在该点切线方向的方向导数． x?2y?3z在点(1,1,4)处沿曲线?y?t?z?3t3?1?解：在点(1,1,4)处对应的t0= 1，切线方向向量｛1,2t,9t2｝t=1=｛1,2,9｝ cos?=186 cos?=286 cos?=986
?u?x?u?y|(1,1,4)?|(1,1,4)?xx?2y?3z2y222|(1,1,4)?2151251
1251x?2y?3z22|(1,1,4)?2?u?z|(1,1,4)?3zx2?2y2?3z|(1,1,4)?1251
?u?l?151??y2186?251?286??986?1134386四．条件极值； 1．在圆x2?1的x?0,y?0部分上找点
0P，使其到点M(2,1)的距离为最小．
2解：设所求点 P?x22,y0?满足：d222?(x?2)?(y?1)2 最小，条件极值由拉格朗日乘数法设：
F?(x?2)?(y?1)??(x?y?1)Fx?2(x?2)?2?x?0Fy?2(y?1)?2?y?0x?y22
?1解出：
??5?1,x0?255y0?55x?2y?5
的距离．设线
2．利用多元函数求极值的方法，求点P（1，2，-1）到直线??上一点为?x,y,z?，d2??x?1?2??y?2?2??z?1?2
令F=?x?1?2??y?2?2??z?1?2???x?2y?5??u?2x?y?3z?4?
?Fx?2(x?1)???2??0??xF?2(y?2)?2????0?y??的唯一解F?2(z?1)?3??0?z?y?x?2y?5?z????2x?y?3z?4?2x?y?3z?4?2??3212
故d?7
23．利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离． 解：点到平面的距离
d?Ax?By?Cz?DA?B?C222?x?2y?3z?21?4?92
22取目标函数u??x?2y?3z?2? 条件函数：x2?2y2?z?0
构造F(x,y,z)?(x?2y?3z?2)???x?2y?z?2?Fx?2(x?2y?3z?2)?2?x?0??Fy?4(x?2y?3z?2)?4?x?0??Fz??6(x?2y?3z?2)???022?x?2y?z?0?11解出驻点：??,,1???6612?最短距离d?
1/6?2/6?1/4?214?148
五．二重积分的计算（直角坐标和极坐标）； 1．设解:
f(x,y)是连续函数，改变二次积分
?0?adx?a?xf(x,y)dy??a0dx?a2xf(x,y)dy的顺序.
?0?adx?a?xf(x,y)dy??1a0dx?2?xa2xf(x,y)dy＝?dy?0?yyayf(x,y)dx
2．更换积分次序：?dx?f?x,y?dy?2x2??dy?f?x,y?dx??dy?f?x,y?dx
0?y1?y142?y3．计算二次积分?dx?sin1x?132ydy2