解： D：1≤x≤3 x-1≤y≤2
改变积分顺序，得：0≤y≤2, 1≤x≤y+1
I??2y?120dy?1sinydx??2)siny20{(y?1?siny2}dy??2ysiny20dy、
??1222siny0?12(1?cos4)4． 计算 I=??xydxdyD：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成 ．
D2y解：I=11?dy?xydx?13?2y2?y?dy?11
0y?12??3y0245． 利用二重积分求不等式r≤2cos?, r≤1所表达的区域的面积． 解法一：利用直角坐标
3??dxdy??2dy?y23321?(1?y2dx??3[21?y2]dy?[y1?y2?arcsiny?y]?2)?2D?3?12?323??3解法二：利用极
2坐标
2????rdrd??2[?3d?1???223
0?0rdr??2?d??2cos0rdr?2(?D36?2?2?cos?d?)?33??26． 计算二重积分???x?y?dxdy 其中Ｄ：x2+y2≤1．
D?解：原积分＝
21??xdxdy???ydxdy?8?cos?d??r2dr?8
DC0037．利用极坐标计算
R2yR?x2R?y22?0e?y2dy?e0dx??R2e?y2dy?e0?x2dx
解：
y R2yR?x2R?y22 ?0e?y2dy?e0dx??R2e?y2dy?e0?x2dx
?R2?2R?r2x ???d??e04rdr????1?e8
六．第一类曲线积分，第二类曲线积分，积分与路径无关； 1．计算曲线积分???0L(x?y)dx?2xydy22．式中L由极坐标方程r?2?sin?所表示的曲线上从
到????2的一段．
?2y
1解：?Q?x?P?y0积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)到(0,1)
??83 原积分＝?x2dx??0dy20
2．设u?u(x,与?L?u?x22y),v?v(x,y)都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分?Ludx?vdy1vdx?udy2都与积分路径无关．试证：对于函数
?v?x22u?u(x,y),v?v(x,y)，恒有
??u?y22?0,??v?y22?0．
22解：由积分与路径无关?u?v知：??y?x?u?x?－?v?y于是有?u?x2???v?y?x ?u?y22??v?x?y2由v?v(x,y)具有二阶连续偏导则两2种二阶混合偏导相等，
故代入有?u?x2??u?y22?0同理有：?v?x22??v?y22?03．计算积分
点A(π，0)的弧段．
式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到
七．第一类曲面积分，第二类曲面积分，高斯公式； 1．设空间?区域由曲面z?a2?x?y22和平面z?0所围，?为?的表面外侧，求：
??x?2yzdydz?xyzdzdx?z(1?xyz)dxdy222
解：原积分＝
2?aa?r22???(1?2xyz)dvv3??d??rdr?(1?2r0032cos?sin?z)dz?a?24
?y?z?1422032．计算??x?dydz?ydzdx?zdxdy，其中?为球面x2?y?z22?1的外侧．
解：由高斯公式，原积分＝???3?x2v?dv2??3?d??d??rsin?dr?00012?5
3．计算其中∑是z=1－x2－y2在xoy面上方的部分曲面的上侧．
解：补一平面块∑1：z=0,x2+y2≤1，取下侧，
∑和∑1围成立体Ω，由高斯公式
4． 计算
I＝??zdxdy??xdydz?ydzdx ∑：是柱面x2 + y2 = 1被平面z=0,z=3所截得的在
?2第一卦限的部分的前侧． 解：I=?dy?00131321?ydz?2?dx?1?xdz?2?300?cos?d??023?2
八．常数项级数的收敛性，绝对收敛和条件收敛 九．幂级数的收敛域与和函数 1．试求幂函数?(?1)1?n?12nx2n?1的收敛域及和函数．
x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于0，故皆发散，收敛
?n?1(2n?1)2解：??limun?1(x)un(x)n???x?1收敛
区间为(-1,1)．设和函数S(x)= ?(?1)12nx2n?1
(2n?1)x?S(x)dx????1?01?n?1x2n2n?1?x???1?1?n?1x2n?12n?1?xS1
S1????1?2n?1??x???1?n?1??2n?1????n?12n?2???1?x1??11?x2,S1?arctanx
??x?x?S(x)???S(x)dx???xarctanx??arctanx?21?x?0?
2． 求幂级数?1?n2n!xn的收敛区间及和函数．
解：?＝lim?an?1ann2n???0?R??n(n?1)!?收敛区间(??,??)设 S?x?1?n!x1n?x?1nxn?1?xS1xn?1
x?S1dx?0?1(n?1)!xx?x?11(n?1)!x?xeS1?(1?x)eS?x(1?x)e??3．求幂级数
?n?1(x?1)nn的收敛区间与和函数．
解：R?1，收敛区间为[0,2)
设
??s(t)??n?1?tn，则
?ns?(t)??n?1n?1t?1?t1,s(t?)?．ln?(t1故)???(x?1)nn的和函数为
． s(x)??ln(?2x4．求幂级数?n?1n?1xn?1n的收敛区间与和函数．
?n3解：收敛区间为[?3,3)．设?n?1?xn?1nn3?s(x)，
(xs(x))???(n3n?1xnn?)???n?1xn?1n3?ln31?x?xln(3?x)1．故s(x)???13?x?3?x?0x?0．
5．求幂级数解：liman?1ann???1?n?2?lnnn当x的收敛域．
nx=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明．
n???limln(n?1)n?1n???nlnn?1
收敛半径R＝1
当x=1时 令 f?x??lnxx，f??x??1?lnx
x2当 x?e时，f??x??0 f?x?单调减
当 n?3 an?f?n??f?n?1??an?1 又 lim故?n?3?n??an?limlnnnn???0
??1?nlnnn为莱布尼兹级数收敛，从而原级数收敛．
?2一般项加绝对值后，当n?时， lnnn?ln2n，
故 ?lnn 发散． 故原级数条件收敛．
当x= -1时即?lnn由上面讨论知发散． 收敛区间(-1,1]
n?1?n?1nn