∴=(-2,-1),. ∴<0,
2
即20k-4k-3<0,解得k∈.
20.(12分)已知各项为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的通项公式bn=(n∈N+),若S3=b5+1,b4是a2和a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an2bn}的前n项和Tn.
解:(1)∵数列{bn}的通项公式bn=(n∈N+),
∴b5=6,b4=4,
设各项为正数的等比数列{an}的公比为q,q>0, ∵S3=b5+1=7,∴a1+a1q+a1q2=7,① ∵b4是a2和a4的等比中项,
∴=a22a4==16,解得a3=a1q2=4,②
2
由①②得3q-4q-4=0, 解得q=2,或q=-(舍), ∴a1=1,∴an=2n-1. (2)当n为偶数时,
Tn=(1+1)220+222+(3+1)222+4223+(5+1)224+…+[(n-1)+1]22n-2+n22n-1 =(20+222+3222+4223+…+n22n-1)+(20+22+…+2n-2),
023n-1
设Hn=2+222+322+422+…+n22,①
234n2Hn=2+222+322+422+…+n22,② ①-②,得-Hn=20+2+22+23+…+2n-1-n22n =-n22n=(1-n)22n-1, ∴Hn=(n-1)22n+1,
∴Tn=(n-1)22n+1+22n+. 当n为奇数,且n≥3时,
Tn=+(n+1)22n-1=22n-1++(n+1)22n-1=22n-1+, 经检验,T1=2符合上式, ∴Tn=
22
21.(12分)已知点M是圆心为C1的圆(x-1)+y=8上的动点,点C2(-1,0),若线段MC2的中垂线交MC1于点N.
(1)求动点N的轨迹方程;
22
(2)若直线l:y=kx+t是圆x+y=1的切线且l与点N的轨迹交于不同的两点P,Q,O为坐标原点,若=μ,且≤μ≤,求△OPQ面积的取值范围.
解:(1)由已知得|MN|=|NC2|,则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2>|C1C2|=2,
2
故动点N的轨迹是以C1,C2为焦点,以2为长轴长的椭圆,a=,c=1,b=1,
2
动点N的轨迹方程为+y=1.
22
(2)∵直线l:y=kx+t是圆x+y=1的切线, ∴=1,∴t2=k2+1.
222
直线l:y=kx+t代入椭圆方程可得(1+2k)x+4ktx+2t-2=0,
222
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则Δ=16k-8t+8=8k>0可得k≠0. ∴x1+x2=-,x1x2=,
∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=, ∵t2=k2+1, ∴x1x2=,y1y2=, ∴=μ=x1x2+y1y2=, ∵≤μ≤,∴, ∴≤k2≤1, ∵|PQ|= =2.
422
令λ=k+k,∵≤k≤1,
6
∴λ∈.
|PQ|=22=22上递增, ∴≤|PQ|≤.
∵直线PQ是圆x2+y2=1的切线, ∴O到PQ的距离为1, ∴S△OPQ=|PQ|,即|PQ|≤. 故△OPQ面积的取值范围是. 22.(12分)已知函数f(x)=x--aln x, (1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;
(2)设g(x)=x+-(ln x)2
,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值; (3)证明:>ln(n∈N+). (1)解:求导可得f'(x)=,
∵函数f(x)无极值,∴方程x2-ax+1=0在(0,+∞)上无根或有唯一根, ∴方程a=x+在(0,+∞)上无根或有唯一根, 又x+≥2(x=1取等号), 故=2,∴a≤2.
(2)解:a=2时,f(x)=x--2ln x,g(x)=x+-(ln x)2
,
由(1)知,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
当x∈(0,1)时,f(x)=x--2ln x
令x2
=t>0,∴≥|ln t|,
平方得t+-2≥(ln t)2,∴t>0时,t+-2≥(ln t)2
成立,当且仅当t=1时取等号, ∴当x=1时,函数g(x)取最小值2.
(3)证明:由上知,x>1时,x+-(ln x)2
>2,
∴x>1时,>ln x成立, 令x=,得>ln,即>ln,
∴不等式:>ln+…+ln>ln+…+ln =ln=ln.
即>ln(n∈N+).
7