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绵阳市高中2010级第二次诊断性考试
数学（理科）
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 直线A. 30°
2
3
100
3x+y-1=0的倾斜角是 B. 60° B. 1
2
2
C. 120° C. i
B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 D. 150° D. i+1
2. 计算：1+i+i+i+?+i（i为虚数单位）的结果是 A. 0
A.必要不充分条件 C.充要条件 4. 为了得到函数y= 3sin(2x+A. 横坐标缩短到原来的3. 已知a、b?R,那么“ab<0”是“方程ax+by=l表示双曲线”的
?5)的图象，只需把函数y= 3sin(x + ?5)图象上所有点的 1212倍，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变2 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 5. —个正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）的三视图 如右图所示，则这个正三棱柱的体积为 A. C.4 3 B. 23 3 D 63 26. 若loga(a+l) D. (O, 1)U(1, +?) 7. 现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位 女学生中有且只有两位相邻， B. 24 种 C. 36 种 2D. 72 种 15x2y28. 已知椭圆的半焦距为F，右顶点为A，抛物线y= (a+c)x与椭圆交于B,C两点，若??1(a?b?0)228ab四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是 A. 15 8B. 4 153 C. 23 2 D. 12 15 15 2 ?0?a?4,9. 已知关于X的一元二次方程x-2x+b-a+3=0,其中a、b为常数，点(a,b)是区域 Ω: ?内的随机点.设该 0?b?4?方程的两个实数根分别为x1、x2则x1、x2满足0?x1?1?x2的概率是 A. - 2 - C. 3 32B. 3 165 32D. 9 1610. 一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面 的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径是 A. 3 或 8 B. 8 或 11 C. 5 或 8 D. 3 或 11 第II卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 《人再冏途之泰冏》首映结束，为了了解观众对该片的看法，决定从500名观众中抽 取10%进行问卷调查，在这500名观众中男观众占40%,若按性别用分层抽样的方法 抽取釆访对象，则抽取的女观众人数为______人 12. 右图表示的程序所输出的结果是 13. (2x+1)(1-__________ 1x)的展开式的常数项是_____.(填写具 体数字） 514. 我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知nx2y2x2y2双曲线??1与双曲线??1是“相近双曲线”,则m412mn围是______ 的取值范15. 已知函数f (x),若对给定的三角形ABC,它的三边的长a、b、c均在函数f (x)的定 义域内，都有f(a)、f(b), f(c)也为某三角形的三边的长，则称f(x)是ΔABC的“三角形函数”.下面给出四个命题： ①函数f1(x)= ； x (x? (0, + ?)是任意三角形的“三角形函数”②若定义在(O,+ ?)上的周期函数f2(x)的值域也是(0，+?),则f2(x)是任意三角 形的“三角形函数”； ③若函数f3(x)= x-3x + m在区间（324,33)上是某三角形的“三角形函数”，则m的取值范围是(26227, +?) ④若a、b、c是锐角ΔABC的三边长，且a、b、c?N+，则f4(x) = x+ln;x (x>0)是 ΔABC的“三角形函数”. 以上命题正确的有_______(写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤? 16. (本小题满分 12 分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)- 2sinx (I)求f(x)的单调递减区间； (II) A、B、C是ΔABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c.若f(2 2 A6)= 82, AB?AC=12 AC=12 a=27,且 求 b、c 的长. 917. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄 底面ABCD, PD=DC，点E是PC的中点，作EF丄PB交PB于F. (I )求证：PA//平面EDB； (II )求证：PB丄平面EFD (III)求二面角C-PB-D的大小. 18. (本小题满分12分）甲、乙两位同学练习三分球定点投篮，规定投中得三分，未投中得零分，甲每次投中的概率为11，乙每次投中的概率为34 (I) 求甲投篮三次恰好得三分的概率； 的分布列. 19. (本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{an}的首项a1=(I )试问数列 是否成等比数列，请说明理由； - 3 - (II) 假设甲投了一次篮，乙投了两次篮，设X是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮 得分总和的差，求随机变量X34,2an+1an=kan-an+1 N?N+,k是不等于1的正常数). (II)当k=3时，比较an与3n?4的大小，请写出推理过程. 3n?512，O为坐标原点. 20. (本小题满分13分）动点M(x,y)与定点F(l,0)的距离和它到直线l: X=4的距离之比是常数(I )求动点M的轨迹E的方程，并说明轨迹五是什么图形？ (II) 已知圆C的圆心在原点，半径长为且使等式2是否存在圆C的切线m,,使得m与圆C相切于点P,与轨迹E交于A,B两点，成立？若存在，求 出m的方程；若不存在，请说明理由. 21. (本小题满分14分）已知函数f(x)=xlnx(x∈(0,+ ?) (I )求，g(x)= f(x?1)?x(x?(?1,??))的单调区间与极大值； x?1(II )任取两个不等的正数x1,X2,且X1 求证:(e为 自然对数的底数). 绵阳市高中2010级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． CBCAA BBDAD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．30 12．30 13．-9 14．[44521，]∪[，] 15．①④ 21544)， 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）f (x)=1+sin2x-1+cos2x=∴ 当2k?解得k?2sin(2x+ ?4??2≤2x+ ?4≤2k??3?时，f (x)单调递减， 2??8≤x≤k??5?， 8?5?P ](k∈Z)． ????????6分 8863A?A?AF （Ⅱ）f ()=2sin(+)=，即sin(+)=， 2244448?5?A??2?D ∴ +=或，即A=或（舍）． 333443G A ????????1由AB?AC=c·b·cosA=12，cosA=，得bc=24．① x 即f (x)的单调递减区间为[k?，k???E C B y 2 又cosA= 2 2 - 4 - b?c?a1?，a?27，得b2+c2=52． 2bc22 222∵ b+c+2bc=(b+c) =100，b>0，c>0， ∴ b+c=10，② 联立①②，且b （Ⅰ）连结AC，交BD于G，连结EG．依题意得 A(1，0，0)，P(0，0，1)，E(0， 11，)． 22∵ 底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 11，，0)， 22????????11且PA?(1，0，?1)，EG?(，0，?)． 22∴ PA?2EG，这表明PA//EG．而EG?平面EDB且PA?平面EDB， 故点G的坐标为( ∴ PA//平面EDB． ???????????????????????4分 ????（Ⅱ）依题意得B(1，1，0)，PB=(1，1，-1)． ????????????1111又DE?(0，，)， 故PB?DE?0???0． 2222PB?DE． ∴ 由已知EF?PB，且EF?DE?E， ∴ （Ⅲ）由（Ⅱ）知EFPB?平面EFD．??????????????????????8分 ?PB，PB?DF，故?EFD是所求二面角的平面角． ????????设点F的坐标为(x0，y0，z0)，PF?kPB， ????????1∵ PB?FD=0，所以(1，1，-1)·(k，k，1-k)=0，解得k?， 则(x0，y0，z0-1)=k(1，1，-1)，从而x0=k，y0=k，z0=1-k， ????????112111112∴ 点F的坐标为(，，)，且FE?(?，，?)，FD?(?，?，?) 3???3366333?3????FE?FD1???????，得?EFD?． ∴ cos?EFD????3|FE||FD|2?∴ 二面角C-PB-D的大小为 33．????????????????12分 18．解：（Ⅰ）甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中， ∵ 甲投篮三次中的次数x～B(3， 1∴ P(x=1)=C3?1)， 3114?(1?)2?， 3394甲投篮三次恰好得三分的概率为．????????????????4分 9（Ⅱ）设甲投中的次数为m，乙投中的次数为n， ①当m=0，n=2时，X=-6， ∴ P(X=-6)= 22121?C2?()?． 3424②当m=1，n=2或m=0，n=1时，X=-3， ∴ P(X=-3)= - 5 - 112211313?()??C2???． 3434448③当m=1，n=1或m=0，n=0时，X=0， ∴ P(X=0)= 111320321?C2????C2?()?． 344342④当m=1，n=0时，X=3， ∴ P(X=3)= 10329?C2?()?． 3448∴X的分布列为 X P -6 -3 0 3 1 241kan?1=， an?12an13 481 29 48?????????????12分 19．解：（Ⅰ）由 2an+1an=kan-an+1，可得 ∴ 12422kan?121112??==(． ???)，首项为?a1k?13k?1k?1kank?1an?1k?12an12425}为零数列，不成等比数列． ??0，即k=时，数列{?ak?13k?12n425若??0，即k>0，k?1且k?时， 3k?1212421?}是以?数列{为首项，为公比的等比数列． ank?13k?1k121255?}不成等比数列；当k>0，k?1且k?时，数列{?}是等∴ 综上所述，当k=时，数列{ank?1ank?122若 比数列．??????????????6分 （Ⅱ）当k=3时，数列{111?1}是以为首项，为公比的等比数列． an33n1311?1?()n，即an=n∴ =1-n， an33?13?1113n?3n?4113n?4∴ an-=1-n-(1-)=-=， 3?13n?53n?53n?1(3n?5)(3n?1)3n?5xx 令F(x) =3-3x-4(x≥1)，则F?(x)=3ln3-3≥F?(1)>0， ??)上是增函数． ∴ F(x)在[1，而F(1)=-4<0，F(2)=-1<0，F(3)=14>0， 3n?4； 3n?5113n?4n ②当n≥3时，3+1>3n+5，即>n，此时an>． 3n?53?13n?53n?43n?4∴ 综上所述，当n=1和n=2时，an<；当n≥3时，an>．?12分 3n?53n?5(x?1)2?y2120．解：（Ⅰ）由题意得，?， x?42∴ ①当n=1和n=2时， an<