22化简得：
x4?y3?1，即轨迹E为焦点在x轴上的椭圆． ??????5分 （Ⅱ）设∵ ???OA?A(x1，x2)，B(x2，y2)．
????OB?=(???OP???????PA??????)?(????OP????????PB??????)=???OP2?+???OP?????PB?+???PA?????OP?+???PA?????PB?，
由题知????OP???⊥?AB???，故?OP?PB=0，PA?OP=0．
∴ OA?OB=OP2+???PA?????PB?????=OP2-???AP?????PB?=0．
假设满足条件的直线m存在，
①当直线m的斜率不存在时，则m的方程为x=?2，
代入椭圆x2y264?3?1，得y=?2． ???????OB?????????∴ OA?=x61x2+y1y2=-2-4?0，这与OA?OB=0矛盾，故此时m不存在．
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=kx+b， ∴ |OP|=b1?k2?2，即b2=2k2+2．
x2?y2联立?1与y=kx+b得，(3+4k2)x2+8kbx+4b243-12=0，
∴ x=?4b2?1+x28kb123?4k2，x1x2=3?4k2， 22yy)(kx2(x23b?12k12=(kx1+b2+b)=kx1x2+kb1+x2)+b=2， ????????3?4k∴ OA?OB=x=4b2?123b2?12k21x2+y1y23?4k2+3?4k2=0． ∴ 7b2
-12k2
-12=0， 又∵ b2
=2k2
+2，
∴ 2k2+2=0，该方程无解，即此时直线m也不存在．
综上所述，不存在直线m满足条件．???????????????13分 21．解：（Ⅰ）由已知有g(x)?f(x+1)x+1?x=ln(x+1)?x， 于是g?(x)?1xx+1?1=?x?1． 故当x∈(-1，0)时，g?(x)>0；当x∈(0，+∞)时，g?(x)<0．
所以
g(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，g(0)=0． ??????????????????????????4分 （Ⅱ）因为
f?(x)?lnx+1，所以lnx)?f(x1)0+1=
f(x2xx，于是
2?1lnxf(x2)?f(x1)x?lnxx2?x1lnx10?lnx2=
xln2?1=22?x1x?x?lnx2?1 21lnx2=
x1lnx2?x1lnx1x1x?1=?1，2?x1x 2x?11令
x2lnx=t (t>1)，h(t)=t?1?lnt?t?1， 1t?1t?1因为t?1?0，只需证明lnt?t+1?0．
- 6 -
+∞)，g(x)的极大值是
- 7 -
1?1?0， t∴ ?(t)在t?(1，+?)递减，所以?(t)??(1)=0， 于是h(t)<0，即lnx0?lnx2，故x0?x2．
仿此可证x1?x0，故x1?x0?x2．?????????????????10分
令?（t)?lnt?t+1，则??(t)?11)a??an，所以{an}单调递增，an≥1． n2nn2111111于是an?1?(1?n)an?2?(1?n)an?2an=(1?n?2)an，
2n2n2n11所以lnan?1?lnan?ln(1?n?2)． （*）
2n（Ⅲ）因为a1?1，an?1?(1?由（Ⅰ）知当x>0时，ln(1+x) lnan?lna1?（111111++?+)?[????] 21222n?11222(n?1)2?(1-=(1-111111)?[??????] 2n?112222?33?4(n?2)(n?1)11111111)?[1??(?)?(?)???(?)] 2n?142334n?2n?11111=(1-n?1)?(1???) 242n?1111111=-n?1??， 42n?14111111?，所以an?e4．??????????????14分 即lnan?lna1?44