§11.7 离散型随机变量及其分布列
考纲展示?
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列．
2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
考点1 离散型随机变量的分布列的性质
1.随机变量的有关概念
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序________，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
答案：一一列出
2．离散型随机变量的分布列 (1)概念
若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，?，xi，?，xn，X取每一个值xi(i＝1,2,3，?，
n)的概率P(X＝xi)＝pi，如下表：
X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，?，n表示X的分布列．
(2)性质
①pi________，i＝1,2,3，?，n；
n②?pi＝1.
i＝1
答案：(2)①≥0
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 X P 0 ________ 1 p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为
- 1 -
________．
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝________，
k＝0,1,2，?，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X P 0 ______ 1 ______ ? ? m ______ 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 答案：(1)1－p 成功概率 CMCN－MCMCN－MCMCN－MCMCN－M(2)n n n n
CNCNCNCNkn－k0n－0
1n－1
mn－m
(1)[教材习题改编]已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3 ? ? n k nP 则k的值为________． 答案：1
k nk nk n解析：由＋＋?＋＝1，得k＝1.
(2)[教材习题改编]设随机变量X等可能取1,2,3，?，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________.
答案：10
1
解析：由题意知×3＝0.3，∴n＝10.
kknnknn
[典题1] 设离散型随机变量X的分布列为
X P 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列． [解] 由分布列的性质知，
0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
- 2 -
首先列表为
X 2X＋1 |X－1| 从而由上表得两个分布列为 (1)2X＋1的分布列为
2X＋1 1 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 P (2)|X－1|的分布列为 |X－1| 0.2 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 P [点石成金] 1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证各个概率值均为非负数．
2．若X是随机变量，则η＝|X－1|等仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．
考点2 离散型随机变量分布列的求法
离散型随机变量的分布列易错点：随机变量的取值不全；分布列的概率之和不为1. 下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的是________．
- 3 -
答案：③
解析：利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①，②，④.
离散型随机变量的分布列：随机变量的取值；求概率；列表检验． 某射手射击一次所得环数X的分布列如下：
- 4 -
X P 7 0.1 8 0.4 9 0.3 10 0.2 现该射手进行两次射击，以两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ，则ξ的分布列为________．
答案： ξ 7 0.01 8 0.24 9 0.39 210 0.36 2
P 解析：ξ的可能取值为7,8,9,10.P(ξ＝7)＝0.1＝0.01，P(ξ＝8)＝2×0.1×0.4＋0.4＝0.24，
P(ξ＝9)＝2×0.1×0.3＋2×0.4×0.3＋0.32＝0.39，
P(ξ＝10)＝2×0.1×0.2＋2×0.4×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36，
∴ξ的分布列为
ξ 7 0.01 8 0.24 9 0.39 10 0.36 P
[典题2] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
[解] (1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)153＝＋＝. 202010
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为
1953
3件)＝＋＋＝.
2020204
所以X的分布列为
51204
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