X P 2 1 43 3 4[点石成金] 求离散型随机变量分布列的步骤
考点3 超几何分布
[典题3] 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列． [解] (1)由已知得， C2C3＋C3C36
P(A)＝＝. 4
C8356
所以事件A发生的概率为.
35
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. C5C3
P(X＝k)＝4(k＝1,2,3,4)．
C8所以随机变量X的分布列为 k4－k22
22
X P 1 1 142 3 73 3 74 1 14[点石成金] 超几何分布的两个特点 (1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；
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(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.
[2017·山东济南调研]PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5日均值(微克/立方米) 频数 [25， 35] 3 (35， 45] 1 (45， 55] 1 (55， 65] 1 (65， 75] 1 (75， 85] 3 (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解：(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则
C3C721P(A)＝3＝. C1040
(2)依据条件，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3， C3C7
P(ξ＝k)＝3(k＝0,1,2,3)．
C10C3C77
∴P(ξ＝0)＝3＝，
C1024C3C721
P(ξ＝1)＝3＝，
C1040C3C77
P(ξ＝2)＝3＝，
C1040C3C71
P(ξ＝3)＝3＝.
C10120因此ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 302112
03
12
k3－k - 7 -
P 7 2421 407 401 120
[方法技巧] 1.随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ概率．
3．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．
[易错防范] 掌握离散型随机变量的分布列的注意事项
(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
的取值情况，然后利用排
所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的
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以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19) ＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
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当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200
＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04 ＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 2．[2016·山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分．
32
已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影
43响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD. 由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD) ＋P(ABCD) ＋P(ABCD)
＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)
3232123231322
＝×××＋2××××＋×××＝. 43434343434332所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. 3(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝34
1143111
，
431441111343431314343
211105
＝，
343144721212311243434343
1225
，
43144
P(X＝1)＝2××××＋×××＝
3143
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝
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