∴ DF?OD?OF?3?(3)?22226(cm)．
∵ OF⊥CD，∴ DF＝CF，∴ CD＝2DF＝26cm．
【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦
组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF⊥CD于F，构造Rt△OEF，求半径和OF的长；连接OD，构造Rt△OFD，求CD的长．
举一反三： 【变式】如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝ ．
CNA
OMB
【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分别为AB、AC的中点（垂径定理），则MN是△ABC的中位线，BC=2MN=6.
3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．
y C D A O B x （第3题）
【答案】65°.
【解析】连结OD，则∠DOB = 40°，设圆交y轴负半轴于E，得∠DOE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：
【变式】如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于( )
6
A.30° B.60° C.75° D.90°
【答案】本题可先求出∠BAC的度数，∠BAC所对的弧是优弧
为360°-120°=240°，所以
故选B.
类型三、与圆有关的位置关系
【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】
4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
，则该弧所对的圆心角度数 ，因此，
.
【答案与解析】
直线CE与⊙O相切 理由：连接OE ∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB ∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC 又∠DCE=∠ACB
∴∠DEC+∠DAC=90° ∵OE=OA
∴∠OEA=∠DAC
∴∠DEC+∠OEA=90° ∴∠OEC=90° ∴OE⊥EC
∴直线CE与⊙O相切.
7
【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线． 举一反三：
【变式】如图，P为正比例函数
图象上的一个动点，
的半径为3，设点P的坐标为(x、y).
(1)求与直线相切时点P的坐标. (2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围. 【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为. 当点在直线右侧时，，得， (5，7.5). 当点在直线左侧时，，得， (，). 当与直线相切时，
点的坐标为(5，7.5)或(，).
(2)当时，与直线相交. 当或时，与直线相离.
类型四、圆中有关的计算
5．如图所示，已知正方形的边长为a，求阴影部分的面积．
【答案与解析】
(几何方法)∵ 正方形边长为a， ∴ S正方形?a，S半圆211?a?1??R2??????a2． 22?2?82∵ S正方形?2S半圆?S2个空白处，
∴ S2个空白处?a?2??a?a??a． ∴ S4个空白处?2S2个空白处?2a??a． ∴ S阴影?S正方形?S4个空白处?a??2a? ∴ 阴影部分的总面积为?a?a．
(代数解法)观察图形，可知2个“叶瓣”与1个空白组成1个半圆；4个“叶瓣”与4个空白组成
一个正方形．
2218221422122??212?12?a???a?a2． 2?21222 8
设每个“叶瓣”面积为x，每个空白面积为y，则
2??a??????2 ?2x?y???,2?2??4x?4y?a,① ② 由①×4-②，得4x?12?a?a2，即为阴影部分的总面积． 2【总结升华】比较以上两种方法，代数解法更加简捷，在运用此法时，不需把两个未知数求出来，只要
求出表示阴影部分面积的代数式的值即可．叶形的总面积可看做四个半圆面积减去正方形面积，
则S阴影?4S半圆?S正方形1?a?1?4?????a2??a2?a2．
2?2?22也可以用正方形面积减去四个空白处面积．以上均为几何方法，还可以设每个“叶瓣”面积为
x，每个空白面积为y，列方程组解答．
类型五、圆与其他知识的综合运用
6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，?AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．
【答案与解析】
AB于点F，如图(2)． 连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交?AB的中点， 由垂径定理，可知E是AB中点，F是? ∴ AE?1AB?23，EF＝2． 2222 设半径为R米，则OE＝(R-2)m．
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R?(R?2)?(23)． 解得R＝4． ∴ OE＝2，OE?1AO，∴ ∠AOE＝60°，∴ ∠AOB＝120°． 2 9
120?4?8??(m)．
180382
∴ 帆布的面积为??60?160?(m)．
3 ∴ ?AB的长为
【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这
也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以?AB为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出?才能求?AB所对的圆心角度数以及所在圆的半径，AB的长．
举一反三：
【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半
径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
①请你补全这个输水管道的圆形截面图；
②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面 的半径.
【答案】①作法略.如图所示.
②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交 ∵ OC⊥AB，
于C，
∴
由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm，则
.
.
在Rt△BOD中，由勾股定理得： ∴
.
∴
.
即这个圆形截面的半径为10cm.
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