的有n个元素的子集。因为A的有k个元素的子集有???m1??个，因为B的有n?k个元素的??k??m2??m1?m2?n?m1??m2?子集有??n?k??个，所以S的有n个元素的子集个数为??n??????k????n?k??。
????k?0????33237. 在(x1?x2?2x3?2x4)9的展开式中x1的系数是什么？ x2x3x4解 由多项式定理知道
(x1?x2?x3?x4)?nn1?n2?n3?n4?n?n??n1n2n3n4??nnnn??x1x2x3x4 ?1234?令x2为?x2，x3为2x3，x4为?2x4，n为9，得到
(x1?x2?2x3?2x4)9?332因此，x1的系数是 x2x3x4n1?n2?n3?n4?9?9??n1n2n2n3n3n4n4??x(?1)x2x(?2)x4 123?nnnn??1234??9?9!?(?8)32???(?1)?2?(?2)???40320 ?3312?3!?3!?1!?2!??42. 用牛顿二项式定理近似计算101/3。 解
101/3?(8?2)1/3?2(1?0.25)1/3
?
??1??1?11112111251113??3?) ?2???2?(1???????????????k?k3433216333664k?4??k?4k?0?k?411121112511101/3?2?(1???????????)?2.1547
3433216333664第六章作业答案
3. 求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解 设S是从1到10000的整数的集合，A1是从1到10000的完全平方数的集合，A2是从1到10000的完全立方数的集合。因为100?10000，所以|A1|?100。因为
2213?9261?10000?10648?223，所以|A2|?21。因为一个整数既是完全平方数也是
完全立方数的充分必要条件是它是完全六次方数，4?4096?10000?15625?5，所以
66|A1?A2|?4。从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数
|A1?A2|?|S|?(|A1|?|A2|)?|A1?A2|?10000?(100?21)?4?9883
6. 面包店出售巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力、6个肉桂和3个素炸面包圈。如果一个盒子装12个面包圈，那么可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
解 用a，b，c分别表示巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈。本题要求的是多重集
T?{6?a,6?b,3?c}的12-组合的个数。设S为T*?{??a,??b,??c}的所有12-组合的集合，则|S|????12?3?1??14??????91。设A1为T*的所有至少有7个a的12-组合????12??12?的集合，A2为T*的所有至少有7个b的12-组合的集合，A3为T*的所有至少有4个c的12-组合的集合。每个T*的5-组合再加上7个a就得到一个至少有7个a的12-组合，所以
T*的至少有7个a的12-组合的个数等于T*的5-组合的个数，
?5?3?1??7??5?3?1??7?????。同样可得到|A1|????21|A|?2?5??5??5?????5???21，
?????????8?3?1??10?*|A3|???8?????8???45。T的至少有7个a和7个b的12-组合的个数????|A1?A2|?0，T*的至少有7个a和4个c的12-组合的个数|A1?A3|?3，T*的至
少有7个b和4个c的12-组合的个数|A2?A3|?3，T*的至少有7个a、7个b和4个
c的12-组合的个数|A1?A2?A3|?0。因此，T的12-组合的个数
|A1?A2?A3|
?|S|?(|A1|?|A2|?|A3|)?|A1?A2|?|A1?A3|?|A2?A3|?|A1?A2?A3|
?91?(21?21?45)?0?3?3?0?10
9. 确定方程
x1?x2?x3?x4?20
满足
1?x1?6， 0?x2?7， 4?x3?8， 2?x4?6
的整数解的个数。
解 引入新变量
y1?6?x1 y2?7?x2 y3?8?x3 y4?6?x4
则方程
x1?x2?x3?x4?20
满足
1?x1?6， 0?x2?7， 4?x3?8， 2?x4?6
的整数解的个数等于方程
y1?y2?y3?y4?7
满足
0?y1?5， 0?y2?7， 0?y3?4， 0?y4?4
的整数解的个数。设S是方程y1?y2?y3?y4?7的所有非负整数解的集合，则
?7?4?1??10?|S|???7?????7???120。设A1为方程y1?y2?y3?y4?7的所有满足y1?6的
????非负整数解的集合，A2为方程y1?y2?y3?y4?7的所有满足y2?8的非负整数解的集合，A3为方程y1?y2?y3?y4?7的所有满足y3?5的非负整数解的集合，A4为方程y1?y2?y3?y4?7的所有满足y4?5的非负整数解的集合，则|A1|?4，|A2|?0，
?2?4?1??5?|A3|?|A4|???2?????3???10。若i?j，则Ai?Aj??。因此，方程
????y1?y2?y3?y4?7
满足
0?y1?5， 0?y2?7， 0?y3?4， 0?y4?4
的整数解的个数
|A1?A2?A3?A4|?|S|?|A1|?|A2|?|A3|?|A4|?120?4?0?10?10?96
24. 把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？
(c)
× × × × × × × × 解 禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的F1部分，包含5个位置，右下角的F2部分，包含3个位置。用rk表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。r1?8。若在F1部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有3?2?1?6种方法；若在F2部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法；若在F1部分和F2部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有5?3?15种方法。因此，r2?6?1?15?22。若在F1部分的禁止位置放两个非攻击型车，在F2部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有6?3?18种方法；若在F2部分的禁止位置放两个非攻击型车，在F1部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有1?5?5种方法；若在F1部分的禁止位置放三个非攻击型车，则有1种方法。因此，r3?18?5?1?24。若在F1部分的禁止位置放三个非攻击型车，在F2部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有
1?3?3种方法；若在F1部分和F2部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有6?1?6种
方法。因此，r4?3?6?9。若在F1部分的禁止位置放三个非攻击型车，在F2部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法，r5?1。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
6!?r1?5!?r2?4!?r3?3!?r4?2!?r5?1!
?720?8?120?22?24?24?6?9?2?1?161
26. 计算{1,2,3,4,5,6}的排列i1i2i3i4i5i6的个数，其中
i1?1,2,3； i2?1； i3?1； i5?5,6以及i6?5,6。
解 所要求的排列个数等于把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数。
× × × × × × × × × 禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的F1部分，包含5个位置，右下角的F2部分，包含4个位置。用rk表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。r1?9。若在F1部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有4种方法；若在F2部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有2种方法；若在F1部分和F2部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有5?4?20种方法。因此，r2?4?2?20?26。若在F1部分的禁止位置放两个非攻击型车，在F2部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有4?4?16种方法；若在F2部分的禁止位置放两个非攻击型车，在F1部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有2?5?10种方法。因此，
r3?18?5?1?24。若在F1部分和F2部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有
4?2?8种方法。因此，r4?8。r5?0。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6
行6列棋盘上的方法数是
6!?r1?5!?r2?4!?r3?3!?r4?2!?r5?1!
?720?9?120?26?24?26?6?8?2?0?1?124
27. 8个女孩围坐在旋转木马上。她们可以有多少种方法改变座位，使得每个女孩前面的女孩都与原先的不同？
解 令S为{1,2,3,4,5,6,7,8}的全部7!个循环排列的集合，Ai为出现模式i(i?1)的循环排列的集合（1?i?7），A8为出现模式81的循环排列的集合。若1?k?7且i1,?,ik是
|集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中的不同整数，则|Ai???Ai|?(7?k)!。
1ki?1 ?Ai|?1。因此，
8?8??8??8??8??8??8??8?|A1???A8|?7!???1??6!???2??5!???3??4!???4??3!???5??2!???6??1!???7??0!?1?1625
??????????????她们可以有1625种方法改变座位。
第七章作业答案
1. 设f0,f1,?,fn,?表示斐波那契序列。通过用小的n值为下列每一个表达式赋值，猜测一般公式，然后用数学归纳法和斐波那契递归证明之。 （c）f0?f1?f2???(?1)nfn