其差分表的第0条对角线为
0，1，30，150，240，120，0，0，?
因此
?n?1??n?1??n?1??n?1??n?1??n?1?5???????????k?0?1?30?150?240?120??1??2??3??4??5??6?? ????????????k?012. 证明第二类Stirling数满足关系 (a) S(n,1)?1，(n?1) (b) S(n,2)?2n?1?1，(n?2) (c) S(n,n?1)?????，(n?1)
n?n??2?(d) S(n,n?2)??????3????，(n?2)
证明 (a) 设n?1，因为将个物体放入1个盒子中，只有一种方法，所以S(n,1)?1。
n(b) 设n?2，A是n-元集，则A的非空真子集的个数为2?2。任取A的非空真子集B，
?n??3??n??4?将B中元素放入一个盒子，而将其他元素放入另一个盒子，就得到一种将A中元素放入两个非空盒子的方法。显然，B和它的补集A?B对应同一种方法，即每种方法都对应A的两个子集。因此，S(n,2)?(2n?2)/2?2n?1?1。
?n?(c) 设n?1。若n?1，则S(n,n?1)?0??下面考虑n?2的情况。将n个物体放入n?1?2??。
??个非空盒子中，必然有一个盒子中有两个物体，而其余盒子中只有一个物体。设A是n-元集，任取A的2-组合B，将B中元素放入一个盒子，将其余元素各放进一个盒子，就得到将n个物体放入n?1个非空盒子中的方法。因此，可在A的2-组合和将n个物体放入n?1个非空盒子中的方法之间建立一一对应。所以，S(n,n?1)?????。
?n??2?(d) 设n?2。若n?2，S(n,n?2)?0??????3????。下面考虑n?3的情况。将n个物体放入n?2个非空盒子中，有两种可能。一种情况是，有一个盒子中放入3个物体，其
?n??3??n??4??n?余盒子中各放入一个物体，这种情况发生的次数是??3??。另一种情况是，有两个盒子中各
??放入2个物体，其余盒子中各放入一个物体。从这n个物体中任取出四个，设它们是
?n?a,b,c,d，a可与b,c,d之一在一个盒子中。因此，这种情况发生的次数是3??4??。所以，
???n??n?S(n,n?2)???3???3??4??。
????13. 令X是p-元集并令Y是k-元集。证明，把X映射到Y上的函数f:X?Y的个数等于
k!S(p,k)?S#(p,k)
证明 设Y?{b1,b2,?,bk}。将b1,b2,?,bk看作k个不同盒子，若f(x)?bi，则把X中元素x放入盒子bi，这在X映射到Y上的函数和将X中元素放入k个不同非空盒子的方法之间建立了一一对应。因此，把X映射到Y上的函数f:X?Y的个数等
于k!S(p,k)?S#(p,k)。