数学建模与实践
我们选择的题号是（1题/2题/3题/4题）： 4
小组队员 ：
1. 学院 城市 专业班级 电信1212 姓名 卢敏 签名 2. 学院 城市 专业班级 测绘1211 姓名 何帅帅 签名 3. 学院 城市 专业班级 测绘1211 姓名 章婷婷 签名
牛奶制品的生产最优化模型
作者： 卢敏 何帅帅 章婷婷
摘 要
随着社会的发展，人们的生活水平逐渐提高，对奶制品的要求也不断提高本文以牛奶制品加工厂的生产实际为背景, 经过简化提出了安排奶制品生产计划中的一些问题, 利用优化方法建立数学模型, 并根据模型求解结果给出了奶制品加工计划的设计方案
目的就是合理分配资源，让企业获取最大利润。
根据本题的基本信息，提出奶制品的生产模型，这个优化问题的目标时使每天的获利最大，要作的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2,但存在着几个问题的制约，按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可得到模型最优解，解决实际问题，使资源分配合理，并利用效益最大化。
关键词
生产计划 最优解 线性规划 MATLAB软件 Novoasoft ScienceWord 5.0软件
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问题再现
一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成5公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2全部能售出，且每公斤A1获利30元，每公斤A2获利15元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。（1）试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。（2）35元可买到1桶牛奶，买吗？
问题分析
问题一 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力．
模型假设
许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划(特别是在像生产计划这样的经济管理领域)，这不是偶然的．让我们分析一下线性规划具有哪些特征，或者说：实际问题具有什么性质，其模型才是线性规划．
比例性:每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比。
可加性:各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其它决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其它决策变量的取值无关．
连续性:每个决策变量的取值是连续的．
比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性则允许得到决策变量的实数最优解．
对于本例，能建立上面的线性规划模型，实际上是事先作了如下的假设： 1) A1，A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1，A2的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；
2) A1，A2每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出
A1，A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；
3)加工A1，A2的牛奶的桶数可以是任意实数．
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这3条假设恰好保证了上面的3条性质．当然，在现实生活中这些假设只是近似成立的，比如，A1，A2的产量很大时，自然会使它们每公斤的获利有所减少．
由于这些假设对于书中给出的、经过简化的实际问题是如此明显地成立，本章下面的例题就不再一一列出类似的假设了．不过，读者在打算用线性规划模型解决现实生活中实际问题时，应该考虑上面3条性质是否近似地满足．
模型建立
由上述问题分析可建立加工奶制品的生产计划的模型并进行求解：
设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2；每天获利为z元.x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利30*3x1，x2桶牛奶可生产5x2公斤A2，获利15*5x2，z=90x1+75x2；
我们的目标是求出当x1,x2满足下列约束条件时z的最大值，及相应的x1,x2的取值。约束条件为：
1.原料供应：生产A1，A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2≤480小时；
2.劳动时间：生产A1，A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即x1+x2≤50桶；
3.设备能力：A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3x≤100； 4.非负约束：x1，x2均不能为负值，即x1>=0，x2>=0. 由此得基本模型：
Max z=90x1+75x2
S．t．x1+x2≤50 12x1+8x2≤480 3x1≤100
x1≥0,x2≥0.
符号说明 X1 X2 每天用来生产A1的牛奶桶数 每天用来生产A2的牛奶桶数
模型求解与检验
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图解法：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件(2)～(5)中的不等号改为等号，可知它们是Ox1，x2平面上的5条直线，依次记为L1～L5，如图1．其中L4，L5分别是工x2轴和x1轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)．
制作此图利用的是 Novoasoft ScienceWord 5.0软件
当目标函数Z过点(20，30)取得最优解，即为最优解： x2=30．Z=4050 x1=20，我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得．线性规划的理论告诉我们，这个猜想是正确的．
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