学号
20095040078 本科毕业论文
学 院 物理电子工程学院 专 业 物理学 年 级 2009级 姓 名 尹校华 论文题目 Lippman-Schwinger方程与Born近似 指导教师 李炳中 职称 讲师
2013年5月8日
目 录
摘 要 ..................................................................................................................................... 1 Abstract.................................................................................................................................. 1 1 引言 ................................................................................................................................... 1 2 散射理论 ........................................................................................................................... 1
2.1散射理论在近代物理中的作用 .............................................................................. 1 2.2散射的量子力学描述 .............................................................................................. 2 3 处理散射问题的一个重要近似——Born近似 .............................................................. 3
3.1 Green函数的引入 ................................................................................................... 3 3.2 Lippman-Schwinger方程 ........................................................................................ 4 3.3 Green函数的解 .................................................................................................... 4 3.4 Born近似 .............................................................................................................. 5 4 Born近似的适用条件 ....................................................................................................... 7
4.1 Born近似成立的条件 ............................................................................................. 7 4.2 Born近似的适用范围 ............................................................................................. 7 5 Born近似的应用 ............................................................................................................... 8
5.1 Born近似在生物医学上的应用 ............................................................................. 8 5.2 Born近似在弹性动力学上的应用 ......................................................................... 8 6 结论 ................................................................................................................................... 9 参考文献 ............................................................................................................................... 9
Lippman-Schwinger方程与Born近似 学生姓名：尹校华 学号：20095040078
学院：物理电子工程学院 专业：物理学 指导老师:李炳中 职称:讲师
摘 要：散射是研究微观粒子运动规律、相互作用以及它们内部结构的重要手段，在原子、原子核以及基本粒子物理学发展中起很重要的作用。因此，散射问题的求解非常重要，而近似是解散射问题的重要方法之一。本论文介绍了求解近似的一种重要方法，即Born近似，而Born近似可以归结到求解Lippman-Schwinger方程。 关键词：Green函数；Lippman-Schwinger方程；Born近似
The Lippman-Schwinger equation and the Born approximation
Abstract：The scattering phenomenon is an important means to study the law of
motion of microscopic particles，interactions and their internal structure．It plays an important role in the development of atomic，nuclear and elementary particle physics．Therefore，to solve the scattering problem is very important．And the approximation is one of the important method for scattering problems．This paper introduces a method for solving approximation，Born approximation．Born approximation can be attributed to the solution of the Lippman-Schwinger equation．
Key words：The Green function；Lippman-Schwinger equation；The Born approximation
1引言
散射实验在近代物理学的发展中起了很重要的作用，特别是对原子和分子物理、原子核物理以及粒子物理的建立和发展，起了举足轻重的作用。Lippman-Schwinger方程是一个积分方程，根据Green函数的定义，处理散射问题的Born近似可以归结为Lippman-Schwinger方程的求解。
2 散射理论
2.1散射理论在近代物理中的作用
散射是研究微观粒子运动规律、相互作用以它们内部结构的重要手段,在原子、
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原子核及基本粒子物理学发展中起很重要的作用。著名的Rutherford的?粒子散射实验确立了原子的有核模型。五十年代发展起来的高能电子散射实验对研究原子核的电荷分布及核子结构，均做出了重要的成果。散射实验还提供了核力的丰富知识，粒子束在介质的穿透与吸收，都与散射实验密切相关，它们对研究介质的各种性质提供了重要信息。因此,散射问题求解是十分重要的[1]。 2.2散射的量子力学描述
从量子力学理论的角度来看，散射态是一种非束缚态，涉及体系能铺的连续区部分，人们可以自由地控制入射粒子的能量，这与处理束缚态的着眼点有所不同。束缚态理论的兴趣主要在于如何求出体系的离散的能量本征值和本征态，以及在外界作用下它们之间的量子跃迁概率，而在实验上则主要是通过光谱线的波长及谱线强度的观测，选择定则的分析等来获取有关信息。在散射问题中，人们感兴趣的不是能量本征值，而是散射粒子的角分布以及散射过程中粒子的各种性质的变化。由于角分布等的实验观测都是在离开靶子很远的地方（r???，?是入射粒子的deBroglie波长）进行，因此角分布依赖于波函数在r??处的渐进行为，所以散射理论的兴趣不在于求能量本征值，而在于研究波函数在r??处的渐进行为，它与入射粒子能量，入射粒子与靶粒子的相互作用等有关。在微观物理学中，人们主要通过各种类型的散射实验来研究粒子之间的相互作用以及它们的内部结构。
为简单起见，假设在碰撞过程中入射粒子和靶粒子的内部结构不变，即弹性碰撞。在此过程中，只有相对运动状态发生改变。设相互作用用定域势V(r)表示，r是入射粒子与靶粒子的相对坐标。这样的两体问题总可以化为单体问题来处理。我们还假定
V(r)具有一定的力程a，即只有当r?a时，相互作用才值得考虑[2]。
在散射实验中，有一个粒子源，它提供一束稳定的接近于单色的平行入射粒子束，从远处射向靶粒子，实际的入射粒子束都有一定的宽度（?d）和长度（?l）。从宏观实验装置来看，入射束是狭而短的，但与入射粒子波长?和靶粒子的力程a相比，则是很大的。在这种情况下，入射粒子波束可以近似用一个平面波来描述[3]，即
?i?eikz (1) 其中k?2?E?，?为入射粒子能量，?i是动量的本征态。由于靶粒子的作用，入射粒子的动量并非守恒量，即有一定概率改变方向，或者说要长生散射波。设相互作用为一个中心势V(r)，则在散射过程中角动量为守恒量。可以论证，当r??时，散射波的形式为 r?1f(?)exp(ikr),即往外出射的球面波，f(?)的量纲为[ 长度 ]，称为
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散射波幅，是?的函数，不依赖于?角。概括起来说，在中心势V(r)作用下，波函数在r??时的渐进行为是
r??ikzeikz??e?f(?) ??? (2)
r上式中第一项是入射波，第二项表示出射的球面波，描述由于靶粒子作用所出现的散射现象。
在上述波函数的渐进形式下，入射粒子流密度为ji??k?，而散射粒子流为
js???ki??exp(ikr)???exp(?ikr)??f(?)?cc?f(?)????2??r?r?r???f(?)/r22
? (3)
式中，c?c?指复共轭项。因此，在?方向的立体角元d?中单位时间的出射粒子数为
按照截面定义式有
dn?jsr2d???k?f(?)2d? (4)
?(?)?1dn?jid?f(?)2 (5)
这就是散射截面与散射波幅f(?)的关系。
在理论上，散射波幅f(?)可以由求解Schwinger方程
???22???2???V(r)???E?? (6)
并要求r??时?的渐近行为如式（2）所示而定出。f(?)求出后即可计算出微分截面?(?)?f(?)，并与实验测出的微分截面?(?)?(dn/d?)/ji。还可以计算出总截面
?t???(?)d??22??0f(?)sin?d? (7)
用上述理论来分析散射实验时，还基于下列一些近似考虑。首先，实际的散射实验中靶子是由许多散射中心组成。但各个散射中心之间间距可认为很大，因而从不同散射中心出来的散射波的干涉效应被忽略了。其次，从实验技巧上来讲，通常把靶子做的非常薄，使的入射粒子束中只有很少一部分入射粒子受到一个散射中心的散射。
3 处理散射问题的一个重要近似——Born近似
3.1 Green函数的引入
近似是解散射问题的重要方法之一,一般量子力学书籍均有介绍，下面我们就介绍一种重要的近似方法，即Born近似。与束缚态的微扰论近似的精神相似，Born近
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