似把入射粒子与靶粒子的相互作用V视为微扰，然后逐级近似求解。
前面已经提到，粒子被势场V(r)的散射，归结为求解Schwinger方程[4]
2?(?2?k2)?(r)?2V(r)?(r)?
(8)
?(r)满足下列边条件：
定义Green函数它满足
r??V(r)????exp[ik?r]?f(?,?)exp[ikr]r (9)
22(??k)G(r,r?)??(r?r?) (10)
3.2 Lippman-Schwinger方程
可以证明
V(r)?2??2?d3r?G(r,r?)V(r?)?(r?) (11)
满足方程（8）。因为利用式（10）
(?2?k2)V(r)??2?V(r)?(r)?22??2?d3r?(?2?k2)G(r,r?)V(r?)?(r?)
2??2 但式（11）的解不是唯一的，因为
?(r)??(0)(r)??d3r?G(r,r?)V(r?)?(r?) (12)
也满足 方程（8），只要?(0)(r)满足下列齐次方程即可
22(0)(??k)?(r)?0 (13)
这种不确定性可由入射波和出射波的边条件来确定。例如，对于有限力程作用[当r>a
??（力程），V=0]，要求?i(r)?r???exp[ik?r]（入射粒子具有确定的动量hk，用平面
波描述），而
?(r)?exp[ik?r]??sc(r)2?3
?exp[ik?r]??2?dr?G(r,r?)V(r?)?(r?) (14)
此即Lippman-Schwinger方程，并要求满足出射波边条件
2?3dr?G(r,r?)V(r?)?(r?)2??exp[ikr]r??????f(?,?)r (15)
?sc(r)?3.3 Green函数的解
根据方程（10）的空间平移不变性，G(r,r?)应表示成下列形式：
4
G(r,r?)?G(r?r?) (16)
其Fourier变换为
G(r?r?)??1(2?)3
3?dq1exp[iq?(r?r?)]22q?k (17)
代入式（10），利用
?(r?r?)?1d3qexp[iq?(r?r?)]3(2?)
?2exp[iq?(r?r?)]??q2exp[iq?(r?r?)]? 可得
?(q)?(?q2?k2)G?(q)??G1(2?)31(2?)3或
因此
G(r?r?)??21(q?k2) （18）
1(2?)3
3?dq1exp[iq?(r?r?)]q2?k2 （19）
令R?r?r?，则
G(R)????1(2?)33?dqexp[iq?R]q2?k2???1exp[iqRcos?]2qdqsin?d?d??0?0(2?)3?0q2?k2??1qexp[iqR]??dq?222???(2?)iRq?k （20）
q??k是被积函数的一级极点，容易用残数定理计算出积分值。积分值与积分围道选取有关，这相当于不同的散射波边条件。通常感兴趣的是要求给出出射波，因此，
q空间积分围道应选取如图所示。此时
即
G(R)??14?Rexp[ikR]G(r?r?)??exp[ikr?r?]4?r?r? （21）
代入14）式，得
?(r)?exp[ik?r]?exp[ikr?r?]?3?drV(r?)?(r?)2??2?r?r?
（22）
这就是方程（8）的解，它满足边条件（9）。由于积分内含有待求解的未知函数?(r?)，
5
（22）式是一个积分方程[5]。 3.4 Born近似
如把入射粒子与靶的相互作用V看成微扰，按微扰论的精神：作为一级近似，式（22）中V(r?)?(r?)的可用V(r?)exp[ik?r?]代替，则
exp[ikr?r?]?3??(r)?exp[ik?r]?dr?V(r?)exp[ik?r?]2?2??r?r?
(23)
此即势散射问题的Born一级近似解。根据它在r??的渐进行为，与式（9）比较，即可求出散射波幅f的一级近似解[6]。
假设V(r?)具有有限力程，则式（23）中对r?的积分实际上局限于空间中一个有
限区域。当r??时，
r?r??(r2?2r?r??r?2)12?r(1?r?r?r2)
式（23）被积函数中，分母r?r?是一个光滑的缓变化函数，当r??时，可径直用r代替，但分子是一个随r?迅速振荡的函数
exp[ikr?r?]?exp[ikr(1?r?r?r2)]?exp[ikr?ikf?r?] (24)
r其中kf?k，hkf是出射粒子动量，对于弹性散射，kf?k。这样，由式（23）、
r（24）可得出
r???sc(r)??????expi[kr]3?()dr?exp?[ik(f?k?r?)Vr]2?2??r （25）
?2??2与式（9）比较，得
f(?,?)?f(k,kf)??d3r?exp[iq?r?]V(r?) （26）
式中
q?kf?k （27）
hq是散射过程中粒子的动量转移（如右图（1）），
?是kf与k的夹角，即散射角。f还与入射粒子能 量有关系，但式（26）未明显标记出。由图（1） 可以看出[7]
q?2ksin
?图（1）
2 （28）
k与?愈大，则动量转移hk愈大。除一个常数因子外，散射波幅（26）即相互作用V(r)
6
的Fourier变换。若V是中心力场，则f与?角无关。计算式（26）的积分时，可选择q方向为z?轴方向，采用球坐标系，可得出
f(?)??
2??2q??0r?V(r?)sinqr?dr? （29）
而散射截面表为
?(?)?f(?)q2?4k2sin224?2?42?q??0r?V(r?)sinqr?dr?2?2 （30）
可以看出，q愈大，则?(?)愈小，即入射粒子受到势场V(r)的影响愈小。由此可以看出，对于高能入射粒子，?(?)主要集中在小角度范围内[8]。
4 Born近似的适用条件
4.1 Born近似成立的条件 在Born近似下
?(r)?exp[ik?r]??sc(r)exp[ik?r?r?]?3?exp[ik?r]?dr?2?2??r?r? （31）
?V(r?)exp[ik?r?]如Born近似为一个好近似，就要求
?sc(r)?exp[ik?r]?1 （32）
势场V对散射波的影响，在靶子邻域（r~0）内最强，因此上述条件可换成
?sc(0)??1 （33）
设V为中心场，则
?sc(0)?
?2??2?dr?3exp[ikr?]V(r?)exp[ik?r?]r （34）
?2??2k??0dr?exp[ikr?]V(r?)]sinkr??1此即Born近似成立的条件[9]。 4.2 Born近似的适用范围
若入射粒子能量很低， sinkr??kr?,exp[ikr?]?1，则式（34）化为
2?2 ???0r?V(r?)dr??1 （35）
假设V(r)具有有限力程?r0，强度?V0，则上式化为
7
? ?2V0r02?1 （36）
反之，若入射粒子能量很高，exp[ikr?]将随r?迅速振荡，式（34）中
exp[ikr?]sinkr??coskr?sinkr??isin2kr? （37）
1上式第一项sin2kr?随r?迅速振荡，对积分无贡献，第二项主要局限在kr???区域中
2对积分有贡献，其值约为
?k12??sinkrdr??02k
所以式（34）化为
?V022?V0?1或r0?k2r0222? ?k2k （38）
可以看出，若Born近似在低能区成立。则在高能区也成立。反之则不一定[10]。
5 Born近似的应用
5.1 Born近似在生物医学上的应用
结合同轴X射线相位衬度成像中的Born近似相位恢复法和CT技术，实现了基于单一物像距同轴X射线相位衬度CT投射图像的相位恢复切片重构方法[11]。利用上海光源X射线成像及生物医学应用光束线站的单色光开展模型和生物样品IL-XPCT研究。对比显示，进行相位恢复后，能获得更好的IL-XPCT重构切片和三维重建图像。实验结果表明，本方法具有用于生物活体样品三维无损成像研究的潜力。
X射线相位衬度成像技术，是利用X射线透过样品后携带的相位信息对样品成像，其对生物软组织、聚合物、纤维混合物等弱吸收样品，能够获得很好的衬度。XPCI已成为成像领域的研究热点，但其为平面成像，即将样品的三维结构投射到二维平面上显示，有图像重叠、观察困难等问题[12]。XPCI与CT理论相结合，即XPCT-X射线相位衬度CT能获得弱吸收样品内部结构的二维或三维图像，是研究弱吸收样品的强有力工具。
Born近似IL-XPCI相位恢复法在能量传递方程线性化得相位恢复方程，可实现单一物像距IL-XPCI图像相位恢复。 5.2 Born近似在弹性动力学上的应用
实验结果表明,在Born近似方法对水泥柱体结构中的缺陷形状重构的实验研究中，采用自制的压电纵波直探头和Born近似理论可对柱体结构中缺陷形状进行重构,
8